閉じた集合

幾何学、位相幾何学、および関連する数学の分野において、閉集合とは、補集合が開集合である集合のことである。^{[1] [2]}位相空間において、閉集合は、そのすべての極限点を含む集合として定義できる。完全な計量空間において、閉集合は、極限演算によって閉じられる集合である。これを閉多様体と混同してはならない。

開集合と閉集合の両方の性質を持つ集合。閉開集合と呼ばれます。

位相空間 が与えられた場合、次のステートメントは同値です。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. セットは閉じられている${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle A^{\mathsf {c}}=X\setminus A}$は の開集合である。つまり、${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle A^{\mathsf {c}}\in \tau .}$
3. ${\displaystyle A}$は、その閉包に等しい${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle A}$すべての極限点が含まれます。
5. ${\displaystyle A}$すべての境界点が含まれます。

閉集合の別の特徴付けは、シーケンスとネットを介して利用できます。位相空間の部分集合が で閉じている場合と、の元のすべてのネットのすべての極限が にも属している場合とで同じです。第 1 可算空間(距離空間など) では、すべてのネットではなく、収束するシーケンス のみを考慮すれば十分です。この特徴付けの価値の 1 つは、位相空間よりも一般的な収束空間 のコンテキストで定義として使用できることです。シーケンスまたはネットが で収束するかどうかは、 に存在する点に依存するため、この特徴付けは周囲の空間にも依存することに注意してください。の点は、 が[注 1] によって誘導された部分空間位相が備わっている位相部分空間の の閉包に属する場合^、部分集合に近いと言えます。の閉包は、に近い のすべての点の集合であるため、この用語を使用すると、平易な英語で閉部分集合を記述できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\},}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$${\displaystyle A\cup \{x\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$

部分集合が閉じているのは、その部分集合がそれに近い点をすべて含んでいる場合のみです。

ネット収束の観点では、点が部分集合に近い場合と、に収束するネット（値を持つ） が存在する場合とで同値です。が他の位相空間の位相部分空間である 場合、 はの位相超空間と呼ばれます。 に近い（ の要素ではないが）点が存在する可能性があります。そのため、では部分集合が閉じていても、周囲の「より大きな」超空間では閉じていない可能性があります。 であり、がの任意の位相超空間である場合、は常に の（潜在的に適切な）部分集合であり、 はでの の閉包を表します。実際、が の閉じた部分集合である場合（ の場合に限る）でも、が の適切な部分集合になることは可能です。ただし、が の閉じた部分集合である場合と、の一部（または同等に、すべての）位相超空間に対して${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y\setminus X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

閉集合は連続関数を特徴付けるためにも使用できます。写像が連続的であるためには、すべての部分集合 に対して が成り立つことが必要です。これは、平易な英語で次のように言い換えることができます。 が連続的であるためには、すべての部分集合に対して に近い点を に近い点に写像することが必要です。同様に、が固定された特定の点で連続的であるためには、が部分集合 に近いときはいつでも がに近いことが必要です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

閉集合の概念は、上で開集合の観点から定義されていますが、これは位相空間だけでなく、距離空間、微分可能多様体、一様空間、ゲージ空間などの位相構造を持つ他の空間にも意味をなす概念です。

集合が閉じているかどうかは、それが埋め込まれている空間によって決まります。しかし、コンパクト ハウスドルフ空間は「絶対的に閉じている」、つまり、コンパクト ハウスドルフ空間を任意のハウスドルフ空間に埋め込むと、 は常に の閉じた部分集合になるという意味で、「周囲の空間」はここでは重要ではありません。ストーン–チェフ コンパクト化 は、完全に正則なハウスドルフ空間をコンパクト ハウスドルフ空間に変えるプロセスであり、特定の非収束ネットの限界を空間に隣接させることとして説明できます。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$

さらに、コンパクト空間のすべての閉部分集合はコンパクトであり、ハウスドルフ空間のすべてのコンパクト部分空間は閉じています。

閉集合はコンパクト性の便利な特徴付けも与えます。位相空間がコンパクトであるためには、交差が空である の空でない閉部分集合のすべての集合が交差が空である有限部分集合を許容する必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

位相空間が不連続であるとは、互いに素で空でない開部分集合が存在し、その和が閉集合からなる開基底を持つ場合です。さらに、位相空間が完全不連続であるとは、位相空間が閉集合からなる 開基底を持つ場合です。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

閉集合にはそれ自身の境界がある。言い換えれば、閉集合の「外側」にいる場合、どの方向にも少し動いても集合の外側にとどまる可能性がある。これは境界が空集合、例えば有理数の計量空間で、その平方がそれより小さい数の集合の場合にも当てはまる。${\displaystyle 2.}$

• 任意の閉集合族の交差は閉じている（これには無限個の閉集合の交差も含まれる）
• 有限個の閉集合の和集合は閉じている。
• 空集合は閉じられています。
• セット全体が閉じられています。

実際、集合とのサブセットのコレクションが与えられ、 の要素が上記に挙げた特性を持つ場合、の閉じたサブセットがに属する集合とまったく同じになるような上の一意の位相が存在します 。また、交差特性により、 のスーパーセットであるの最小の閉じたサブセットとして定義される空間内の集合の閉包を定義することもできます。 具体的には、 の閉包は、これらすべての閉じたスーパーセットの交差として構築できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X}$

可算個数の閉集合の和集合として構成できる集合は、 F _σ集合と表記されます。これらの集合は必ずしも閉じている必要はありません。

• 実数の閉区間 は閉じています。(括弧と丸括弧の表記法の説明については、「区間 (数学)」を参照してください。)${\displaystyle [a,b]}$
• 単位区間は 実数の距離空間では閉じており、から（両端を含む）までの有理数集合は有理数空間では閉じていますが、実数では閉じていません。${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$
• 実数の半開区間のように、開でも閉でもない集合もあります。 ${\displaystyle [0,1)}$
• 光線は 閉じています。${\displaystyle [1,+\infty )}$
• カントール集合は、境界点のみで構成され、どこにも稠密ではないという意味で、珍しい閉集合です。
• シングルトン点（および有限集合）は、T ₁空間とハウスドルフ空間で閉じています。
• 整数 の集合は、実数における無限かつ無制限の閉集合です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• が位相空間間の関数である場合、が連続であること、そしてその場合、閉集合の逆像が閉集合であることが必要である。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

• 閉集合 – 開いていて閉じている部分集合
• 閉マップ – 開いた（または閉じた）サブセットを開いた（または閉じた）サブセットに送信する関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉領域 – 位相空間の連結した開集合Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 開集合 – 位相空間の基本部分集合
• 近傍 – 与えられた点を含む開集合
• 領域（数学）  – 位相空間の連結した開集合Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 通常閉集合

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016)。Convergence Foundations Of Topology。ニュージャージー州: World Scientific Publishing Company。ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966)。トポロジー。ボストン: アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.