カタルーニャの定数

数学において、カタラン定数 G は、奇数の平方数の逆数の交代和であり、次のように定義されます。

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}$

ここでβはディリクレベータ関数である。その数値^[1]はおよそ（OEISのシーケンスA006752） である。

G =0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

カタラン定数は、その計算のために急速に収束する級数を発見し、1865年にその計算に関する論文を出版したウジェーヌ・シャルル・カタランにちなんで名付けられました。 ^{[2] [3]}

低次元位相幾何学では、カタラン定数は理想的な双曲八面体の体積の1/4であり、したがってホワイトヘッドリンクの補集合の双曲体積の1/4である。^[4]これはボロミアン環の補集合の体積の1/8である。^[5]

組合せ論や統計力学では、ドミノタイルの数え上げ、^[6] 木、^[7]グリッドグラフのハミルトンサイクル^[8]に関連して発生します。

数論において、カタラン定数は、ハーディとリトルウッドの予想Fによる形式の素数の漸近的な数の予想式に現れる。しかし、この形式の素数が無限に存在するかどうかは未解決の問題（ランダウの問題の1つ）である。 ^[9]${\displaystyle n^{2}+1}$

カタラン定数は渦巻銀河の質量分布の計算にも使われる。^{[10] [11]}

Gが無理数であるかどうかは不明であり、ましてや超越数であるかどうかは不明である。^[12] Gは「おそらく最も基本的な定数であるが、その非無理数と超越数は（強く疑われているものの）証明されていない」と言われている。^[13]

しかし、部分的な結果も存在する。β (2 n )の無限個の数は無理数であることが知られている。ここで、β(s)はディリクレのベータ関数である。^[14]特に、 β (2)、β (4)、β (6)、β (8)、β (10)、β (12)のうち少なくとも1つは無理数でなければならない。ここで、β (2)はカタラン定数である。^[15]ワディム・ズディリンとタンギー・リヴォアルによるこれらの結果は、奇ゼータ定数ζ(2 n+1 )に対して与えられた同様の結果と関連している。

カタラン定数は代数周期であることが知られており、これは以下に示すいくつかの二重積分から導かれます。

カタラン定数は、次のようないくつかの有理数級数の評価に現れる。^[16] 次の2つの式は収束の早い級数を扱うため、数値計算に適している 。 $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}+{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)^{2}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+3)^{2}}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$$

このような級数の理論的根拠は、最初の式についてはブロードハースト^[17]、2番目の式についてはラマヌジャン^{[18]によって与えられている。カタラン定数を高速に評価するアルゴリズムはE.カラツバ[ 19]}によって構築された。^{[20]これらの級数を使用すると、カタラン定数の計算は}アペリーの定数を計算するのとほぼ同じ速さになる。[ ^21]${\displaystyle \zeta (3)}$

ギレラとパイルロードによるもので、y-cruncherソフトウェアで使用されている他の急速に収束する級数には次のものがある: ^[21]

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}$

${\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}$

${\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}$

これらの級数はすべて時間計算量 を持つ。^[21]${\displaystyle O(n\log(n)^{3})}$

ショーン・スチュワートは「カタラン定数で表現できる定積分の豊富で無限とも思える情報源がある」と書いている。^[22]これらの表現には次のようなものがある。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}}$$

ここで最後の3つの式はマルムステンの積分と関係している。^[23]

K( k )が楕円係数kの関数として第一種完全楕円積分である場合、 $${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk}$$

E( k ) が楕円係数kの関数として第二種完全楕円積分である場合、 $${\displaystyle G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk}$$

ガンマ関数 Γ ( x + 1) = x ! $${\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}}$$

この積分は 逆正接積分 と呼ばれる既知の特殊関数であり、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって広範囲に研究されました。 $${\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}$$

Gは、第2ポリガンマ関数（トリガンマ関数とも呼ばれる）の分数引数の値に現れる：^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}}$$

Simon Plouffe は、三ガンマ関数、 π ² 、カタラン定数の間の恒等式の無限集合を示しています。これらはグラフ上のパスとして表現できます。

カタラン定数は、クラウゼン関数、逆正接積分、逆正弦積分、バーンズG関数、および前述の関数に関して足し合わせることができる積分や級数 に関連して頻繁に現れます。

具体的な例として、まず逆正接積分をその閉じた形式（クラウゼン関数）で表現し、次にそれらのクラウゼン関数をバーンズG関数で表現すると、次の式が得られます（詳細についてはクラウゼン関数を参照してください）。

$${\displaystyle G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right).}$$

レルヒの超越関数 Φ( z , s , α )を 次 のように 定義すると、$${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},}$$$${\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).}$$

Gは次の形式で表すことができる: ^[24]

${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

単純な連分数は次のように与えられる: ^[25]

${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

この連分数は、無理数である場合にのみ無限項を持ちますが、これはまだ解決されていません。 ${\displaystyle G}$

カタラン定数Gの既知の桁数は、過去数十年で劇的に増加しました。これは、コンピュータの性能向上とアルゴリズムの改善の両方によるものです。^[26]

• ギーゼキング多様体
• 数学定数のリスト
• 数学定数
• リーマンゼータ関数の特定の値

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• Fee, Gregory J. (1990)。「ラマヌジャンの公式を用いたカタラン定数の計算」。渡辺俊郎、永田守雄 (編)。記号および代数計算に関する国際シンポジウム ISSAC '90 の議事録、東京、日本、 1990年 8 月 20 ～ 24 日。ACM。pp. 157 ～ 160。doi : 10.1145/ 96877.96917。ISBN 0201548925.S2CID 1949187  。
• Bradley, David M. (1999). 「カタラン定数の級数加速公式のクラス」.ラマヌジャンジャーナル. 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . Bibcode :2007arXiv0706.0356B. doi :10.1023/A:1006945407723. MR  1703281. S2CID  5111792.

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