リーマンゼータ関数の特定の値

複合ゼータ — ドメインカラーリングを使用して複素平面上にプロットされたリーマンゼータ関数。

数学において、リーマンゼータ関数は複素解析の関数であり、数論においても重要である。しばしば次のように表記される。 $\displaystyle \zeta (s)$ そして、数学者ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられました。 $s$ は1より大きい実数であり、ゼータ関数は次の式を満たす。 $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,.$ したがって、次のようなさまざまな収束無限級数の和を提供することができます。 ${\textstyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+}$ ${\textstyle {\frac {1}{2^{2}}}+}$ $\textstyle {\frac {1}{3^{2}}}+\ldots \,.}$ 明示的または数値的に効率的な公式が存在する $\displaystyle \zeta (s)$ 整数引数の場合、引数はすべて実数値をとります（この例も含みます）。この記事では、これらの公式と値の表を掲載しています。また、導関数や、整数引数におけるゼータ関数で構成される級数もいくつか紹介しています。

同じ方程式で $s$ 上記は、以下の場合にも当てはまります。 $s$ は実部が1より大きい複素数であり、無限和が収束することを保証する。ゼータ関数は、の単純極を除いて、解析接続によって複素平面全体に拡張できる。 $s=1$ 複素微分はこのより一般的な領域に存在するため、ゼータ関数は有理型関数となる。上記の式は、これらの拡張された値にはもはや適用されない。 $s$ 、この場合、対応する総和は発散する。例えば、完全なゼータ関数はに存在する。 $s=-1$ （したがって、そこでは有限である）が、対応する級数は⁠ $1+2+3+\ldots$ ⁠、その部分和は無限に大きくなるだろう。

以下にリストされているゼータ関数値には、負の偶数（⁠ $s=-2,-4$ ⁠など）、 $\zeta (s)=0$ そして、これらは自明な零点と呼ばれるものです。リーマンゼータ関数に関する記事には、複素平面の連続した長方形領域で関数がどのように変化するかを示すカラープロットが含まれています。より広い平面における非自明な零点の適切な特徴付けは、リーマン予想のため、数論において重要です。

0と1におけるリーマンゼータ関数

ゼロでは、 $\zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{\tfrac {1}{2}}\!$

1にはポールがあるので、 $\zeta (1)$ 有限ではないが、左端と右端は以下のとおりである。 $\lim _{\varepsilon \to 0^{\pm }}\zeta (1+\varepsilon )=\pm \infty$ 一次極であるため、複素残留物を持つ。 $\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \zeta (1+\varepsilon )=1\,.$

正の整数

偶数の正の整数

偶数の正の整数の場合 $n$ ⁠ 、ベルヌーイ数との関係がある $B_{n}$ ⁠ : $\zeta (n)=(-1)^{{\tfrac {n}{2}}+1}{\frac {(2\pi )^{n}B_{n}}{2(n!)}}\,.$

計算 $\zeta (2)$ これはバーゼル問題として知られています。 $\zeta (4)$ これは物理学におけるシュテファン・ボルツマンの法則とウィーン近似に関連している。最初のいくつかの値は次のように与えられる。 ${\begin{aligned}\zeta (2)&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[4pt]\zeta (4)&=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\\[4pt]\zeta (6)&=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\\[4pt]\zeta (8)&=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\\[4pt]\zeta (10)&=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\\[4pt]\zeta (12)&=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}\\[4pt]\zeta (14)&=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}\\[4pt]\zeta (16)&=1+{\frac {1}{2^{16}}}+{\frac {1}{3^{16}}}+\cdots ={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}\,.\end{aligned}}$

限界に挑戦する $n\rightarrow \infty$ ⁠、得られるのは⁠ $\zeta (\infty )=1$ ⁠ .

正の偶数におけるゼータとπのべき乗の関係は次のように表される。

$a_{n}\zeta (2n)=\pi ^{2n}b_{n}$

どこ $a_{n}$ そして $b_{n}$ すべてのは互いに素な正の整数です。 $n$ これらは、 OEISの整数列OEIS : A002432 およびOEIS : A046988 によってそれぞれ与えられます。これらの値の一部を以下に示します。

もし私たちが許せば $\eta _{n}=b_{n}/a_{n}$ の係数とする $\pi ^{2n}$ 上記のとおり、 $\zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n}$ そして再帰的に、

${\begin{aligned}\eta _{1}&=1/6\\\eta _{n}&=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}\end{aligned}}$

この漸化式は、ベルヌーイ数に関する漸化式から導き出すことができる。

また、もう一つ繰り返される現象があります。

$\zeta (2n)={\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)\quad {\text{ for }}\quad n>1$ これは、それを使って証明できる。 ${\frac {d}{dx}}\cot(x)=-1-\cot ^{2}(x)$

ゼータ関数の非負の偶数における値は、次の生成関数を持つ。 $\sum _{n=0}^{\infty }\zeta (2n)x^{2n}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}x^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{6}+\cdots$ 以来 $\lim _{n\rightarrow \infty }\zeta (2n)=1$ この式は、 $n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \infty$ 、 $\left|B_{2n}\right|\sim {\frac {(2n)!\,2}{\;~(2\pi )^{2n}\,}}$

奇数の正の整数

調和級数の和は無限である。 $\zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty \!$

価値 $\zeta (3)$ アペリー定数とも呼ばれ、電子の磁気回転比に関係する。 $\zeta (3)$ プランクの法則にも現れる。これらの値とその他の値は以下のとおりである。

知られているように $\zeta (3)$ は無理数である（アペリーの定理）そして無限に多くの数が存在する $\zeta (2n+1):n\in \mathbb {N}$ ⁠、は無理数である。^{[ 1 ]}正の奇数の特定の部分集合の要素におけるリーマンゼータ関数の値の無理数性に関する結果もある。例えば、少なくとも 1 つの $\zeta (5),\zeta (7),\zeta (9),$ または $\zeta (11)$ 非合理的である。^{[ 2 ]}

ゼータ関数の正の奇数は物理学、特に反強磁性XXXスピン鎖の相関関数に現れる。^[³^]

以下に挙げる恒等式のほとんどは、サイモン・プルーフ氏によって提供されたものです。これらの恒等式は、非常に速やかに収束し、1回の反復でほぼ3桁の精度が得られるという点で注目に値し、高精度計算に役立ちます。

プルーフは証明なしに以下の恒等式を述べた。^{[ 4 ]}後に他の著者によって証明がなされた。^{[ 5 ]}

ζ (5)

${\begin{aligned}\zeta (5)&={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\\\zeta (5)&=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\end{aligned}}$

ζ (7)

$\zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}\!$

なお、この和はランベルト級数の形をしています。

ζ (2 n + 1)

量を定義することによって $S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}$ 一連の関係は、次の形式で表すことができます。 $0=a_{n}\zeta (n)-b_{n}\pi ^{n}+c_{n}S_{-}(n)+d_{n}S_{+}(n)$ どこ $a_{n},b_{n},c_{n}$ そして $d_{n}$ これらは正の整数です。プルーフは値の表を示しています。

これらの整数定数は、以下に示す（Vepstas、2006）のように、ベルヌーイ数の和として表すことができます。

任意の整数引数に対するリーマンのゼータ関数の計算のための高速アルゴリズムは、EA カラツバによって与えられた。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

負の整数

一般に、負の整数については、 $\zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$

いわゆる「自明なゼロ」は、負の偶数に現れる。 $\zeta (-2n)=0$ （ラマヌジャンの総和）

負の奇数の最初のいくつかの値は ${\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120}}\\[4pt]\zeta (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\zeta (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\zeta (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\zeta (-11)&={\frac {691}{32760}}\\[4pt]\zeta (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}$

これはつまり $\zeta (m)$ ベルヌーイ数の定義として使用できる。

しかし、ベルヌーイ数と同様に、これらの値は負の奇数値が大きくなるにつれて小さくはならなくなります。詳細については、 $\zeta (-1)$ ⁠、 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯を参照してください。

デリバティブ

負の偶数におけるゼータ関数の導関数は次のように与えられる。 $\zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1)\,.$

最初のいくつかの値は ${\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{aligned}}$

また、 ${\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}$ どこ $A$ はグレイシャー・キンケリン定数である。これらの恒等式のうち最初のものは、正の整数の逆数の正則化された積が次のようになることを意味する。 $1/{\sqrt {2\pi }}$ したがって、面白い「方程式」 ${\displaystyle \infty$ .^{[ 9 ]}

関数方程式の対数微分から、 $2{\frac {\zeta '(1/2)}{\zeta (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi \cos(\pi /4)}{2\sin(\pi /4)}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}+2\log 2+\gamma \,.$

ζ ( n )を含むシリーズ

以下の和は、生成関数から導き出すことができます。 $\sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)x^{k-1}=-\psi _{0}(1-x)-\gamma$ どこ $\psi _{0}$ はディガンマ関数です。 ${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

オイラー・マスケローニ定数に関連する級数（ $\gamma$ ）は ${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned}}$ 元本価値を使用して $\zeta (k)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (k+\varepsilon )+\zeta (k-\varepsilon )}{2}}$ これはもちろん1の値にのみ影響し、これらの式は次のように表すことができます。 ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}$ そして、それらは主値に依存することを示す $\zeta (1)=\gamma$ 。

非自明な零点

リーマンゼータの零点のうち、負の偶数を除くものは「非自明零点」と呼ばれます。リーマン予想によれば、すべての非自明零点の実部は 1/2 でなければなりません。言い換えれば、既知のリーマンゼータの非自明零点はすべて次の形式です。 $z={\tfrac {1}{2}}+yi$ どこ $y$ は実数です。次の表には、の小数展開が示されています。 $\mathrm {Im} (z)$ 最初のいくつかの非自明なゼロについては、次のようになります。

アンドリュー・オドリツコは、最初の200万個の非自明なゼロを、以下の精度で計算した。 $4\times 10^{-9}$ 、最初の 100 個のゼロは小数点以下 1000 桁以内の精度です。表と参考文献については、彼らの Web サイトを参照してください。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} 約 1030 億個のゼロの高精度 (小数点以下 1000 桁以内) の表。 $2^{-102}\approx 2\cdot 10^{-31}$ ) は、 LMFDBを介して圧縮形式でインタラクティブにアクセスおよびダウンロードできます。^{[ 12 ]}

比率

ゼータ関数の特定の値を評価することは難しいが、ガンマ関数の特定の値を関数方程式に代入することで、特定の比率を求めることができる場合が多い。 $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

半整数引数については、単純な関係式があります。 ${\begin{aligned}{\frac {\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}}&=-4\pi \\{\frac {\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}}&=-{\frac {16\pi ^{2}}{3}}\\{\frac {\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}}&={\frac {64\pi ^{3}}{15}}\\{\frac {\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}}&={\frac {256\pi ^{4}}{105}}\end{aligned}}$

ガンマ関数のより複雑な評価と関係については、他の例が続きます。たとえば、関係の帰結として $\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}$ ゼータ比の関係は ${\frac {\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}}=2{\sqrt {\frac {\pi }{(2-{\sqrt {2}})\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}$ ここで、AGMは算術平均と幾何平均です。同様に、次のような根号関係を形成することができます。 ${\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}$ 類似のゼータ関係は ${\frac {\zeta (1/5)^{2}\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5)^{2}}}={\frac {(5-{\sqrt {5}})\left({\sqrt {10}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{10\cdot 2^{\tfrac {3}{10}}}}$

参考文献

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↑ W. ズディリン (2001)。「数字ξ (5)、ξ (7)、ξ (9)、ξ (11) のいずれかが無理数です。」ラス。数学。生き残る。56 (4): 774– 776。ビブコード: 2001RuMaS..56..774Z。土井：10.1070/rm2001v056n04abeh000427。S2CID 250734661。
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↑ EA カラツバ: 整数引数に対するリーマンゼータ関数の高速計算. Dokl. Math. Vol.54, No.1, p. 626 (1996).
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↑ Muñoz García, E.; Pérez Marco, R. (2008)、「すべての素数の積は $4\pi ^{2}$ 「, Commun. Math. Phys. ( 277): 69–81。
↑ Odlyzko, Andrew. 「リーマンゼータ関数の零点表」。 2022年9月7日取得。
↑ Odlyzko, Andrew. 「リーマンゼータ関数の零点と関連トピックに関する論文」。 2022年9月7日取得。
↑ LMFDB: ζ( s )の零点

さらに読む

チャウリ、オスカー。ナバス、ルイス M.ルイス、フランシスコ J.ヴァローナ、フアン L. (2015 年 5 月)。「 ξ (2 k )の簡単な計算」。アメリカ数学月刊誌。122 ( 5) : 444–451.arXiv : 1209.5030 。土井：10.4169/amer.math.monthly.122.5.444。JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.444。S2CID 207521195。
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Vepstas, Linas (2006). "On Plouffe's Ramanujan identities" (PDF) . The Ramanujan Journal . 27 (3): 387– 408. arXiv : math.NT/0609775 . doi : 10.1007/s11139-011-9335-9 . S2CID 8789411 .
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アンドリュー・オドリツコによる非自明なゼロに関する参考文献：
- 参考文献
- 表

[1] リヴォアル、T. (2000)。「リーマンの機能は、不利益をもたらす無限の価値をもたらします。」Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I。331 (4): 267–270 . arXiv : math/0008051。ビブコード: 2000CRASM.331..267R。土井：10.1016/S0764-4442(00)01624-4。S2CID 119678120。

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[4] 「Zeta(2*n+1) の恒等式」。

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[12] LMFDB: ζ( s )の零点

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