有限分割則

数学において、有限分割規則は、多角形やその他の2次元形状を徐々に小さな部分に分割する再帰的な方法です。 分割規則は、ある意味では、通常の幾何学的フラクタルの一般化です。 まったく同じデザインを何度も繰り返すのではなく、各段階でわずかな変化を持たせることで、フラクタルのエレガントなスタイルを維持しながら、より豊かな構造を可能にします。^[1]分割規則は、建築、生物学、コンピューターサイエンスのほか、双曲多様体の研究でも使用されています。置換タイリングは、よく研究されているタイプの分割規則です。

細分化規則は、ポリゴンによる平面のタイリング を受け取り、各ポリゴンを小さなポリゴンに細分化することで、新しいタイリングに変換します。すべてのポリゴンを細分化できる方法が有限しかない場合、それは有限です。タイルを細分化する各方法は、 タイル タイプ と呼ばれます。各タイル タイプは、ラベル (通常は文字) で表されます。すべてのタイル タイプは、より小さなタイル タイプに細分化されます。各エッジも、有限個のエッジ タイプに従って細分化されます。有限細分化規則は、タイルタイプでラベル付けされたポリゴンで構成されるタイリングのみを細分化できます。このようなタイリングは、細分化規則の細分化複合体と呼ばれます。細分化規則の任意の細分化複合体が与えられた場合、それを何度も細分化して、一連のタイリングを取得できます。

たとえば、バイナリ分割には1 つのタイル タイプと 1 つのエッジ タイプがあります。

タイルの種類は四辺形のみなので、バイナリ分割では四辺形で構成されるタイリングのみを分割できます。つまり、分割複合体は四辺形によるタイリングのみになります。タイリングは規則的にできますが、そうである必要はありません。

ここでは、4 つの四辺形からなる複合体から始めて、それを 2 回分割します。すべての四辺形はタイプ A のタイルです。

重心分割は、1 つのエッジ タイプ (2 つのエッジに分割される) と 1 つのタイル タイプ (6 つの小さな三角形に分割される三角形) を持つ分割規則の例です。三角形に分割された表面はすべて、重心分割複合体です。^[1]

ペンローズタイルは、 4 種類のタイルのセットに対する細分ルールによって生成できます (下の表の曲線は、タイルがどのように組み合わされているかを示すのに役立ちます)。

特定の有理写像は有限分割規則を生じます。^[2]これにはほとんどのラテ写像が含まれます。^[3]

すべての素数の非分割交互結び目またはリンク補完には、リンク補完の境界に対応して、いくつかのタイルが分割されない細分化ルールがあります。^{[4]細分化ルールは、}結び目補完に住む人にとって夜空がどのように見えるかを示しています。宇宙はそれ自体に巻き付いている（つまり、単純につながっていない）ため、観測者は目に見える宇宙が無限のパターンで繰り返されるのを見るでしょう。細分化ルールはそのパターンを記述します。

分割規則は形状によって異なっています。以下は、双曲結び目ではない三葉結び目の分割規則です。

これはボロミアン環の分割規則であり、双曲的です。

いずれの場合も、分割ルールは球体の一部のタイリング (つまり夜空) に作用しますが、繰り返し分割される単一のタイルに対応する夜空の小さな部分を描く方が簡単です。これは、三つ葉結び目の場合に起こることです。

ボロメオリングの場合:

分割規則は他の次元に簡単に一般化できます。^[5]たとえば、重心分割はすべての次元で使用されます。また、バイナリ分割は、ハイネ・ボレルの定理の証明のように、他の次元（ハイパーキューブがすべての中間平面で分割される）に一般化できます。

有限分割規則 は以下のものから構成される。^[1]${\displaystyle R}$

1. 有限の 2 次元CW 複体 は 、細分複体と呼ばれ、 がその閉じた 2 セルの和集合となる固定セル構造を持ちます。のそれぞれの閉じた 2 セルに対して、 が少なくとも 2 つの頂点を持つ閉じた 2 ディスク上にCW 構造があり、 の頂点と辺がに含まれ、 を に写す特性写像が各開セルへの同相写像に制限されると仮定します。 ${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle {\tilde {s}}}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \partial s}$${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle {\tilde {s}}}$

2. 有限の2次元CW複体、これは の細分です。 ${\displaystyle R(S_{R})}$${\displaystyle S_{R}}$

3.細分写像と呼ばれる連続細胞写像。この写像のあらゆる開細胞への制限は開細胞への同相写像である。 ${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$

上記の定義における各 CW 複合体(およびその与えられた特性マップを持つ)は、タイル型と呼ばれます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \psi_{s}}$

細分規則の -複体は、2 次元 CW 複体であり、これはその閉じた 2 セルの和集合と、各開セルへの制限が同相写像である連続セル写像を組み合わせたものです。誘導写像が各開セルへの同相写像に制限されるように要求することで、複体に細分化できます。 は、再び写像 を持つ -複体です。このプロセスを繰り返すと、写像 を持つ細分化された-複体のシーケンスが得られます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R(X)}$${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$${\displaystyle R(X)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$

二進法による分割はその一例である: ^[6]

細分複体は、正方形の反対側の辺を接着してトーラスにすることで作成できます。細分写像はトーラス上の倍加写像で、子午線を 2 回巻き付け、経度を 2 回巻き付けます。これは 4 重被覆写像です。正方形でタイル張りされた平面は、この細分規則の細分複体であり、構造写像は標準被覆写像によって与えられます。細分化では、平面の各正方形が 4 分の 1 の大きさの正方形に細分されます。 ${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})}$

細分規則は、特定の空間の準等長特性を調べるために使用できます。 ^[7]細分規則と細分複合体が与えられた場合、細分規則の動作を記録する履歴グラフと呼ばれるグラフを作成できます。グラフは、各ステージ の双対グラフと、の各タイルを の細分に接続するエッジで構成されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle R^{n+1}(X)}$

履歴グラフの準等長特性は、細分規則を用いて研究することができる。例えば、組合せ論的リーマン写像定理で説明されているように、細分規則が共形である場合、履歴グラフは双曲空間に対して準等長である。^[7]

イスラム建築におけるイスラムのギリタイルとは、有限分割規則でモデル化できる自己相似タイルである。^[8] 2007年、ハーバード大学のピーター・J・ルーとプリンストン大学のポール・J・スタインハート教授は、サイエンス誌に、ギリタイルが、ペンローズタイル（1974年発表、先行研究は1964年頃から開始）などの自己相似フラクタル準結晶タイルと一致する特性を備えていることを示唆する論文を発表した。 ^[8]

コンピュータグラフィックスにおけるサブディビジョンサーフェスは、サブディビジョンルールを使用して、サーフェスを任意の精度レベルに調整します。これらのサブディビジョンサーフェス（Catmull-Clarkサブディビジョンサーフェスなど）は、ポリゴンメッシュ（3Dアニメーション映画で使用される種類）を受け取り、さまざまな再帰式に従ってポイントを追加およびシフトすることで、より多くのポリゴンを持つメッシュに調整します。^[9]このプロセスでは多くのポイントがシフトされますが、新しいメッシュはそれぞれ、組み合わせ的には古いメッシュのサブディビジョンです（つまり、古いメッシュのすべてのエッジと頂点に対して、新しいメッシュの対応するエッジと頂点、およびいくつかの追加のエッジと頂点を識別できます）。

細分化ルールは、キャノン、フロイド、パリー（2000）によって生物の大規模な成長パターンの研究に適用されました。^[6]キャノン、フロイド、パリーは、単純な有限細分化ルールによって決定されるいくつかのシステムでは、局所的な細分化ルールが同じままであっても、大規模な形状が時間の経過とともに大きく振動するオブジェクト（彼らの例では木の幹）が生成されることを示した数学的成長モデルを作成しました。 ^[6]キャノン、フロイド、パリーはまた、ラットの組織の成長パターンの分析にモデルを適用しました。^[6]彼らは、生物の微視的成長パターンの「負に曲がった」（または非ユークリッド）性質が、大規模な生物が結晶や多面体の形状に見えず、実際には多くの場合自己相似フラクタルに似ている主な理由の1つであると示唆しました。^[6]特に彼らは、このような「負に湾曲した」局所構造は、脳と肺の組織の高度に折り畳まれ、高度に接続された性質に現れると示唆した。^[6]

キャノン、フロイド、パリーは、次の予想を証明するために、最初に有限分割規則を研究しました。

キャノンの予想:無限遠2次元球面を持つすべてのグロモフ 双曲群は、 3次元双曲空間に幾何学的に作用する。^[7]

ここで、幾何学的作用は、等長変換によるココンパクトで適切に不連続な作用である。この予想は、グリゴリー・ペレルマンによる幾何化予想の証明^{[10] [11] [12]}で部分的に解決された。この予想は、3次元多様体群である任意のグロモフ双曲群は、3次元双曲空間に幾何学的に作用しなければならないことを（部分的に）述べている。しかし、無限遠に2次元球面を持つグロモフ双曲群が3次元多様体群であるかどうかはまだ示されていない。

キャノンとスウェンソンは、無限遠2次元球面を持つ双曲群には、それに関連した細分規則があることを示した^[13]。この細分規則がある意味で共形であれば、その群は双曲3次元空間の幾何学を持つ3次元多様体群となる。^[7]

細分規則は表面のタイルの並びを与え、タイルは距離、長さ、面積（各タイルの長さと面積を1とすることで）の概念を与える。極限では、これらのタイルから得られる距離は、ある意味で表面上の解析構造に収束する可能性がある。組合せリーマン写像定理は、これが起こるための必要かつ十分な条件を与える。 ^[7]

その説明には背景が必要です。環(つまり、閉じた環状体)のタイリングは、近似係数と呼ばれる2 つの不変量、およびを与えます。これらは、環 の古典的な係数に似ています。これらは、重み関数の使用によって定義されます。重み関数は、重みと呼ばれる負でない数を各タイルに割り当てます。 内のすべてのパスには、長さを与えることができます。長さは、パス内のすべてのタイルの重みの合計として定義されます。の下の高さを、 の内側の境界と外側の境界を結ぶすべての可能なパスの長さの下限として定義します。の下の円周は、環を周回するすべての可能なパスの長さの下限です (つまり、R でヌルホモトピックではありません)。の下の面積は、 内のすべての重みの平方の合計として定義されます。次に、 を定義します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\sup}(R,T)}$${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H(\rho )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C(\rho )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A(\rho )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle M_{\sup }(R,T)=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},}$

${\displaystyle m_{\inf }(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.}$

これらはメトリックのスケーリングに対して不変であることに注意してください。

メッシュが 0 に近づき、次の場合、 タイリングのシーケンスは等角 ( )です。${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$${\displaystyle K}$

1. 各環 について、十分に大きいすべての近似係数および は、 の形式の単一の区間内に存在します。${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\sup}(R,T_{i})}$${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [r,Kr]}$
2. 曲面上の点、の近傍、整数 が与えられたとき、の補集合からx を分離する環が存在し、すべての が大きい に対しての近似係数はすべて より大きくなります。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

曲面のタイリングのシーケンスが上記の意味で共形 ( ) である場合、曲面上に共形構造とのみに依存する定数があり、任意の与えられた環状領域の古典的なモジュライと近似モジュライ (十分に大きい場合から) は-比較可能であり、つまり単一の区間 内に存在することを意味します。^[7]${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle [r,K'r]}$

組合せ的リーマン写像定理は、群が幾何学的に作用するのは、それがグロモフ双曲的であり、無限遠球面を持ち、球面上の自然な分割規則によって上記の意味で共形なタイリングのシーケンスが生じる場合のみであることを意味している。したがって、キャノンの予想は、そのような分割規則がすべて共形であれば正しいだろう。^[13]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

• Bill Floyd の研究ページ。このページには、Cannon、Floyd、Parry による細分化ルールに関する研究論文のほとんどと、細分化ルールのギャラリーが含まれています。