キャットマル・クラーク細分割面

キャットマル・クラーク アルゴリズムは、3Dコンピュータグラフィックスにおいて、サブディビジョンサーフェスモデリングを用いて曲面を作成するために使用される手法である。これは、1978年にエドウィン・キャットマルとジム・クラークによって、双3次一様 B スプライン曲面を任意のトポロジーに一般化するものとして考案された。^[1]

2005/06 年に、エドウィンキャットマルはトニーデローズおよびジョススタムとともに、サブディビジョンサーフェスの発明と応用により、アカデミー技術賞を受賞しました。デローズは「効率的で公平な補間」とキャラクターアニメーションについて書きました。スタムは、再帰なしで極限サーフェスを直接評価する手法を説明しました。

再帰評価

キャットマル・クラーク面は、以下の改良スキームを使用して再帰的に定義されます。^[1]

任意の多面体のメッシュから始めます。このメッシュ内のすべての頂点を元の点と呼びます。

各面ごとに面ポイントを追加します
- 各面のポイントを、それぞれの面のすべての元のポイントの平均に設定します。
  フェイスポイント（青い球）
各エッジにエッジポイントを追加します。
- 各エッジポイントを、隣接する2つの面ポイント（A、F）とエッジの2つの端点（M、E） の平均に設定します^[2] ${\frac {A+F+M+E}{4}}$
  エッジポイント（マゼンタの立方体）
それぞれの元の点( P )について、 Pに接する面のすべてのn 個の(最近作成された) 面点の平均 ( F )を取り、Pに接する元のエッジのすべてのn個のエッジ中点の平均( R )を取ります。ここで、各エッジ中点は、その 2 つの端点の頂点の平均です (上記の新しいエッジポイントと混同しないでください)。 (頂点Pの観点からは、 P に隣接するエッジの数は隣接する面の数でもあるため、 n であることに注意してください)
- それぞれの元の点を新しい頂点に移動します（これは、それぞれ重み（n −3）、2、1を持つP、R、Fの重心です） ${\frac {F+2R+(n-3)P}{n}}$
  新しい頂点（緑の円錐）
新しいメッシュにエッジと面を形成する
- それぞれの新しい面の点を、元の面を定義するすべての元のエッジの新しいエッジ点に接続します。
  新しいエッジ、面ポイントごとに 4 つ
- それぞれの新しい頂点を、元の頂点に接するすべての元の辺の新しい辺点に接続します。
  シフトされた元の頂点の頂点ポイントごとに3つの新しい辺
- 新しい面をエッジで囲まれた面として定義する
  メッシュの最終面

プロパティ

新しいメッシュは四辺形のみで構成され、一般に平面ではありません。新しいメッシュは一般に古いメッシュよりも「滑らか」に見えます (つまり、「ギザギザ」や「尖り」が少なくなります)。繰り返し細分化すると、メッシュはますます丸くなります。

キャットマルとクラークは、数学的な導出ではなく、結果として得られる表面の美的外観に基づいて、任意に見える重心の式を選択しました。ただし、彼らは、この方法が双三次Bスプライン表面に収束することを厳密に示すために多大な努力を払っています。 ^[1]

この改良プロセスによって得られる極限面は、少なくとも異常頂点とその他のすべての点において ( n が連続する導関数の数を示す場合、連続性について言及します) であることが示されます。1 回の反復後、表面上の異常点の数は一定のままです。 ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{2}$ ${\mathcal {C}}^{n}$

正確な評価

Catmull-Clark 細分割面の極限面は、再帰的改良をせずに直接評価することもできます。これは、Jos Stam (1998) の手法によって実現できます。^[3]この方法は、再帰的改良プロセスを行列指数問題に再定式化し、行列対角化によって直接解くことができます。

アルゴリズムを使用するソフトウェア

3dsマックス
3Dコート
3D3D の
アニメ
オートキャド
ブレンダー^[4]
カラーラ
CATIA (想像と形)
CGAL
チーター3D
シネマ4D
クララ
クレオ（フリースタイル）^[5]
Daz スタジオ 2.0
DeleD コミュニティエディション
デレDデザイナー
ハンマー
六角形
フーディーニ
LightWave 3D バージョン 9
メイクヒューマン
マヤ
メタセコイア
モド
マッドボックス
SolidWorks 用 Power Surfacing アドイン
Pixar の OpenSubdiv ^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]
PRマン
リアルソフト3D
レモ3D
シェード
Rhinoceros 3D - Grasshopper 3D プラグイン - Weaverbird プラグイン
サイロ
SketchUp - プラグインが必要です。
ソフトイメージXSI
ストラタ 3D CX
ウィングス 3D
ズブラシ

参照

コンウェイ多面体表記法- 関連する位相多面体とポリゴンメッシュ演算子のセット。
ドゥー・サビン細分割面
ループサブディビジョンサーフェス

参考文献

^ abc Catmull, E. ; Clark, J. (1978). 「任意のトポロジーメッシュ上で再帰的に生成された B スプラインサーフェス」(PDF) . Computer-Aided Design . 10 (6): 350. doi :10.1016/0010-4485(78)90110-0. S2CID 121149868.
^ 「Catmull–Clark サブディビジョンサーフェス - Rosetta Code」。rosettacode.org 。2022年 1 月 13 日閲覧。
^ Stam, J. (1998). 「任意のパラメータ値での Catmull-Clark サブディビジョンサーフェスの正確な評価」( PDF )。第 25 回コンピュータグラフィックスおよびインタラクティブ技術に関する年次会議 - SIGGRAPH '98 の議事録。pp. 395–404。CiteSeerX 10.1.1.20.7798。doi : 10.1145 /280814.280945。ISBN 978-0-89791-999-9. S2CID 2771758。
^ 「サブディビジョンサーフェスモディファイア」。2020 年 1 月 15 日。
^ 「アーカイブコピー」（PDF）。 2016年11月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2016年12月4日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)
^ Manuel Kraemer (2014)。「OpenSubdiv: GPU コンピューティングと描画の相互運用」。Martin Watt、Erwin Coumans、George ElKoura 他 (編)。視覚効果のためのマルチスレッド。CRC Press。pp. 163–199。ISBN 978-1-4822-4356-7。
^ エキスパートに会う：ピクサーアニメーションスタジオ、OpenSubdivプロジェクト。YouTube。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ 「Pixar の OpenSubdiv V2: 詳細な概要」 2013 年 9 月 18 日。
^ AVメディアgputechconf.com
^ OpenSubdiv Blender デモ。YouTube 。 2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。

さらに読む

Derose, T.; Kass, M.; Truong, T. (1998) .「キャラクターアニメーションにおけるサブディビジョンサーフェス」(PDF) 。第 25 回コンピュータグラフィックスおよびインタラクティブ技術に関する年次会議 - SIGGRAPH '98 の議事録。pp. 85。CiteSeerX 10.1.1.679.1198 。doi :10.1145/280814.280826。ISBN 978-0897919999.S2CID 1221330 。
Loop, C.; Schaefer, S. (2008). 「バイキュービックパッチによる Catmull-Clark サブディビジョンサーフェスの近似」(PDF) . ACM Transactions on Graphics . 27 : 1–11. CiteSeerX 10.1.1.153.2047 . doi :10.1145/1330511.1330519. S2CID 6068564.
Kovacs, D.; Mitchell, J.; Drone, S.; Zorin, D. (2010). 「変位を伴うリアルタイムの折り目付き近似細分割面」(PDF) . IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics . 16 (5): 742–51. doi :10.1109/TVCG.2010.31. PMID 20616390. S2CID 17138394.プレプリント
Matthias Nießner、Charles Loop、Mark Meyer、Tony DeRose、「Catmull-Clark サブディビジョンサーフェスの機能適応型 GPU レンダリング」、ACM Transactions on Graphics Volume 31 Issue 1、2012 年 1 月、doi :10.1145/2077341.2077347、デモ
Nießner, Matthias; Loop, Charles; Greiner, Günther: Catmull-Clark 細分割面における半滑らかな折り目の効率的な評価: Eurographics 2012 付録: ショートペーパー (Eurographics 2012、Cagliary)。2012 年、pp 41–44。
ウェイド・ブレーナード、Call of Duty: GhostsにおけるテッセレーションはSIGGRAPH2014のチュートリアルとしても発表された[1]
D. Doo と M. Sabin:異常点付近の再帰分割面の挙動、Computer-Aided Design、10 (6) 356–360 (1978)、(doi、pdf)

[CatmullClark-1] Catmull, E. ; Clark, J. (1978). 「任意のトポロジーメッシュ上で再帰的に生成された B スプラインサーフェス」(PDF) . Computer-Aided Design . 10 (6): 350. doi :10.1016/0010-4485(78)90110-0. S2CID 121149868.

[2] 「Catmull–Clark サブディビジョンサーフェス - Rosetta Code」。rosettacode.org 。2022年 1 月 13 日閲覧。

[Stam-3] Stam, J. (1998). 「任意のパラメータ値での Catmull-Clark サブディビジョンサーフェスの正確な評価」( PDF )。第 25 回コンピュータグラフィックスおよびインタラクティブ技術に関する年次会議 - SIGGRAPH '98 の議事録。pp. 395–404。CiteSeerX 10.1.1.20.7798。doi : 10.1145 /280814.280945。ISBN 978-0-89791-999-9. S2CID 2771758。

[4] 「サブディビジョンサーフェスモディファイア」。2020 年 1 月 15 日。

[5] 「アーカイブコピー」（PDF）。 2016年11月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2016年12月4日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)

[WattCoumans2014-6] Manuel Kraemer (2014)。「OpenSubdiv: GPU コンピューティングと描画の相互運用」。Martin Watt、Erwin Coumans、George ElKoura 他 (編)。視覚効果のためのマルチスレッド。CRC Press。pp. 163–199。ISBN 978-1-4822-4356-7。

[7] エキスパートに会う：ピクサーアニメーションスタジオ、OpenSubdivプロジェクト。YouTube。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[8] 「Pixar の OpenSubdiv V2: 詳細な概要」 2013 年 9 月 18 日。

[9] AVメディアgputechconf.com

[10] OpenSubdiv Blender デモ。YouTube 。 2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。