極限長さ

等角写像および準等角写像の数学的理論では、曲線の集合の極値長は、等角写像に対して不変である のサイズの尺度です。より具体的には、 が複素平面上の開集合であり、 が内の経路の集合であり、が等角写像であるとします。このとき、 の極値長はにおけるの像の極値長に等しくなります。また、の等角係数、つまり極値長の逆数も扱います。極値長と等角係数が の等角不変量であるという事実は、これらを等角写像および準等角写像の研究に役立つツールにします。また、2 を超える次元や特定の他の計量空間における極値長も扱いますが、以下では主に 2 次元の設定を扱います。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:D\to D'}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$

極値の長さを定義するには、まずいくつかの関連する量を導入する必要があります。を複素平面上の開集合とします。が内の可換曲線の集合であるとします。 がボレル測定可能 で ある場合、任意の可換曲線に対して ${\displaystyle D}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}$

はの -長さを表します。ここで は長さのユークリッド要素を表します 。( の可能性もあります。) これは実際には何を意味するのでしょうか。 が何らかの区間 でパラメータ化されている場合、 はボレル測定可能関数の 上のボレル測度に関する積分であり、 このときの各 部分区間の測度はから への制限の長さです。言い換えると、これは ルベーグ-スティルチェス積分であり、 は から への制限の長さです。また、 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle |dz|}$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$${\displaystyle \gamma :I\to D}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \int _{\gamma }\rho \,|dz|}$${\displaystyle \rho (\gamma (t))}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \int _{I}\rho (\gamma (t))\,d{\mathrm {長さ} }_{\gamma }(t)}$${\displaystyle {\mathrm {length} }_{\gamma }(t)}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \{s\in I:s\leq t\}}$

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}$

の面積は次のように定義される。 ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$

そしての極限の長さは ${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}$

ここで、上限はでボレル測定可能な全体にわたって存在します。に非平行曲線が含まれ、 が 内の平行曲線の集合を表す場合、 は と定義されます。 ${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$${\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma_{0}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle EL(\Gamma _{0})}$

の（等角）係数という用語はを指します。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$

の 2 つのセット間の極値距離は、一方のセットに 1 つの端点があり、もう一方のセットにもう一方の端点がある の 曲線の集合の極値の長さです。${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {D}}}$${\displaystyle D}$

このセクションでは、極値の長さがいくつかの例で計算されます。これらの例の最初の 3 つは、極値の長さのアプリケーションで実際に役立ちます。

正の数 を固定し、 を長方形 とします。を長方形 を左から右に横切るすべての有限長曲線の集合とします。つまり、 は長方形の 左端にあり、 は右端にあるということです。( が有限長であると仮定しているため、極限は必然的に存在します。) この場合、 ${\displaystyle w,h>0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=(0,w)\times (0,h)}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \gamma :(0,1)\to R}$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\gamma (t)}$${\displaystyle \{0\}\times [0,h]}$${\displaystyle \lim _{t\to 1}\gamma (t)}$${\displaystyle \{w\}\times [0,h]}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle EL(\Gamma )=w/h}$

まず、 をとります。これにより、およびが得られます。を上限として定義すると、 が得られます。 ${\displaystyle \rho =1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A(\rho )=w\,h}$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )=w}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle EL(\Gamma )\geq w/h}$

逆の不等式はそれほど簡単ではありません。となる 任意のボレル可測値を考えます。 に対して、 とします(ここで複素平面と同一視しています)。すると となり、したがって となります。後者の不等式は次のように書けます。 ${\displaystyle \rho :R\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0}$${\displaystyle y\in (0,h)}$${\displaystyle \gamma _{y}(t)=i\,y+w\,t}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \gamma _{y}\in \Gamma }$${\displaystyle \ell \leq L_{\rho }(\gamma _{y})}$

${\displaystyle \ell \leq \int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt.}$

この不等式を積分すると、 ${\displaystyle y\in (0,h)}$

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy}$。

ここで変数変換とコーシー・シュワルツ不等式の適用により、 ${\displaystyle x=w\,t}$

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (}w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}}$. これにより、 .${\displaystyle \ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h}$

したがって、必要に応じて、 ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq w/h}$

証明が示すように、 の極値の長さは、はるかに小さい曲線の集合 の極値の長さと同じです。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \{\gamma _{y}:y\in (0,h)\}}$

同じ議論により、 の下端と の上端を結ぶ曲線の族の極値の長さはを満たすことを指摘しておく必要があります。したがって、 です。これを極値の長さの双対性特性と呼ぶのは自然であり、同様の双対性特性が次のサブセクションのコンテキストでも発生します。 の下限値を得ることは、上限値を得ることよりも一般に簡単であることに注目してください。これは、下限値には、適度に良好な を選択して を推定する必要があり、上限値には、すべての可能な についてのステートメントを証明する必要があるためです。このため、双対性は、確立できる場合は多くの場合役立ちます。 であることがわかっている場合、 の下限値はの上限値に変換されます。 ${\displaystyle \Gamma \,'}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle EL(\Gamma \,')=h/w}$${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$${\displaystyle EL(\Gamma \,')}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$

および を を満たす 2 つの半径とします。を環状部とし、 および の 2 つの境界要素とします。との間の極値距離を考えます。これは、と を結ぶ曲線の集合の極値の長さです。 ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle 0<r_{1}<r_{2}<\infty }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z|<r_{2}\}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=r_{1}\}}$${\displaystyle C_{2}:=\{z:|z|=r_{2}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma \subset A}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

の下限値を得るために、 を取る。するとからに向けられたについて${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle \rho (z)=1/|z|}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle \int _{\gamma }|z|^{-1}\,ds\geq \int _{\gamma }|z|^{-1}\,d|z|=\int _{\gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).}$

一方で、

${\displaystyle A(\rho )=\int _{A}|z|^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

我々は次のように結論づける。

${\displaystyle EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}$

長方形の場合に上で示したのと同様の議論を用いることで、この不等式が実際には等式であることがわかります。となる任意のボレル可測値を考えます。 で曲線 とします。すると、 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0}$${\displaystyle \theta \in [0,2\,\pi )}$${\displaystyle \gamma _{\theta }:(r_{1},r_{2})\to A}$${\displaystyle \gamma _{\theta }(r)=e^{i\theta }r}$

${\displaystyle \ell \leq \int _{\gamma _{\theta }}\rho \,ds=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\rho (e^{i\theta }r)\,dr.}$

を積分し、コーシー・シュワルツの不等式を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.}$

二乗すると

${\displaystyle 4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

これは上限を意味します。下限と組み合わせると、極値の長さの正確な値が得られます。 ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq (2\,\pi )^{-1}\,\log(r_{2}/r_{1})}$

${\displaystyle EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}$

とを上記と同じとしますが、今度はを から離れて環状部を一周するすべての曲線の集合とします。上記の方法を使用すると、 ${\displaystyle r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle EL(\Gamma ^{*})={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1})}}=EL(\Gamma )^{-1}.}$

これは極端長の双対性の別の例を示しています。

上記の例では、比を最大化し、極値の長さを与える極値は、平坦な計量に対応していました。つまり、対応する平面領域のユークリッド・リーマン計量が でスケールされると、結果として得られる計量は平坦になります。長方形の場合、これは単なる元の計量でしたが、環状体の場合、識別される極値計量は円筒 の計量です。次に、極値計量が平坦ではない例について説明します。球面計量を持つ射影平面は、の単位球面上の反対称点をそのリーマン球面計量で識別することによって得られます。つまり、これは球をマップ で割った商です。 は、この射影平面でヌルホモトピックではない閉じた曲線の集合を表します。( の各曲線は、球面上の点からその反対称点に曲線を射影することによって得られます。) このとき、この曲線族に対して球面計量は極値です。^[1]（極値の長さの定義はリーマン面にも容易に拡張できる。）したがって、極値の長さは である。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle x\mapsto -x}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi /2}$

が、すべて正の直径を持ち、点 を含む経路の集合である場合、 となります。これは、たとえば、 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle EL(\Gamma )=\infty }$

${\displaystyle \rho (z):={\begin{cases}(-|z-z_{0}|\,\log |z-z_{0}|)^{-1}&|z-z_{0}|<1/2,\\0&|z-z_{0}|\geq 1/2,\end{cases}}}$これは、あらゆる修正可能な に対しておよび を満たします。${\displaystyle A(\rho )<\infty }$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

極値の長さは、いくつかの単純な単調性特性を満たしています。まず、であれば であることは明らかです。さらに、すべての曲線が部分曲線として曲線を含む場合（つまり、 がその定義域の部分区間への制限である場合）にも同じ結論が成り立ちます。もう 1 つの有用な不等式は、 ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}}$${\displaystyle EL(\Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})}$${\displaystyle \gamma _{1}\in \Gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}\in \Gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$

${\displaystyle EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{-1}+EL(\Gamma _{2})^{-1}{\bigr )}^{-1}.}$

これは、または であれば明らかであり、その場合、右辺は と解釈されます。したがって、これが当てはまらないと仮定し、一般性を失うことなく、 の曲線がすべて修正可能であると仮定します。についてが満たされるとします。 を設定します。するとおよび となり、不等式が証明されます。 ${\displaystyle EL(\Gamma _{1})=0}$${\displaystyle EL(\Gamma _{2})=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$${\displaystyle L_{\rho _{j}}(\Gamma _{j})\geq 1}$${\displaystyle j=1,2}$${\displaystyle \rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}}$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1}$${\displaystyle A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx\,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\rho _{2})}$

を平面領域間の 共形同相写像 （全単射正則写像）とします。 が内の曲線の集合であるとし、の下の像曲線を表すものとします。このとき となります。この共形不変性の記述は、極値長の概念が有用である主な理由です。 ${\displaystyle f:D\to D^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Gamma ^{*}:=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$

ここに共形不変性の証明がある。 が修正可能であるような曲線の集合を とし 、 が における修正可能な曲線の集合であるとする。 がボレル測定可能であると仮定する。定義する。 ${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}}$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$${\displaystyle \rho ^{*}:D^{*}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.}$

変数の 変更により ${\displaystyle w=f(z)}$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*}(f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).}$

ここで、 が修正可能であり、 と設定すると仮定します。正式には、再び変数変換を使用できます。 ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma ^{*}:=f\circ \gamma }$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\,|f\,'(z)|\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).}$

この正式な計算を正当化するために、 が何らかの区間 で定義されていると仮定し、 が から への制限の長さを表すものとし、がの代わりに で同様に定義されているものとします。すると、 であることが簡単にわかり、これは が要求どおりであることを意味します。上記の等式から、 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell (t)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle I\cap (-\infty ,t]}$${\displaystyle \ell ^{*}(t)}$${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle d\ell ^{*}(t)=|f\,'(\gamma (t))|\,d\ell (t)}$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*})}$

${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*})=EL(\Gamma ^{*}).}$

およびの各曲線が修正可能であることがわかっていれば、をその逆数に置き換えて と交換した上で上記を適用することもできるため、これが証明されます。修正不可能な曲線の処理が残っています。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$

ここで、 が非平行化可能となる平行化可能曲線の集合を とします。 であると主張します。実際、 をとります。ここで です。すると、上記のように変数を変更すると、 ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,h(|f(z)|)}$${\displaystyle h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D^{*}}h(|w|)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .}$

およびが に含まれる場合、 ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$${\displaystyle r\in (0,\infty )}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \{z:|z|<r\}}$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\{h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {length} (f\circ \gamma )=\infty }$. ^{[疑わしい–議論する]}

一方、 が非有界であるようなものと仮定します。 を設定します。すると、 は 少なくとも曲線の長さになります(内 の区間から まで)。 なので、 となります。したがって、確かにです。 ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle H(t):=\int _{0}^{t}h(s)\,ds}$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )}$${\displaystyle t\mapsto H(|f\circ \gamma (t)|)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }H(t)=\infty }$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$

前のセクションの結果を使用すると、

${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\cup {\hat {\Gamma }})\geq EL(\Gamma _{0})}$。

すでに述べたように、 です。したがって、 です。対称性により逆不等式が成立し、したがって共形不変性が確立されます。 ${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma ^{*})}$${\displaystyle EL(\Gamma )\geq EL(\Gamma ^{*})}$

環状空間の極値距離と共形不変性の計算により、の場合には環状空間( ) は環状空間に共形同相ではないことがわかります。 ${\displaystyle \{z:r<|z|<R\}}$${\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty }$${\displaystyle \{w:r^{*}<|w|<R^{*}\}}$${\displaystyle {\frac {R}{r}}\neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}}$

極値長の概念は、特に準等角写像 に関連して、3 次元以上のさまざまな問題の研究に適応します。

が何らかのグラフで、が内のパスの集合であるとします。この設定では、極値長には 2 つのバリエーションがあります。RJ Duffin ^{[2]によって最初に導入された}エッジ極値長を定義するには、関数 を考えます。パスの -長さは、パス内のすべてのエッジの の合計として定義され、重複度でカウントされます。「面積」は と定義されます。 の極値長は、前と同じように定義されます。 を、各エッジが単位抵抗を持つ抵抗ネットワークと解釈する場合、2 つの頂点セット間の有効抵抗は、1 つのエンドポイントが 1 つのセットにあり、もう 1 つのエンドポイントが別のセットにあるパスの集合のエッジ極値長とまったく同じです。したがって、離散極値長は、離散ポテンシャル理論での推定に役立ちます。 ${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho :E\to [0,\infty )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho (e)}$${\displaystyle A(\rho )}$${\displaystyle \sum _{e\in E}\rho (e)^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$

他のコンテキストでも適切な離散極値長の別の概念は、頂点極値長です。ここで、 、面積は、パスの長さは、パスが訪れる頂点全体の の合計で、重複度は です。 ${\displaystyle \rho :V\to [0,\infty )}$${\displaystyle A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}}$${\displaystyle \rho (v)}$

• アルフォース、ラース V. (1973)、共形不変量: 幾何学関数理論のトピック、ニューヨーク: McGraw-Hill Book Co.、MR  0357743
• ダフィン、RJ（1962）、「ネットワークの極限長さ」、数学分析と応用ジャーナル、5（2）：200–215、doi：10.1016 / S0022-247X（62）80004-3
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973)、Quasiconformal Mappings in the plane (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag