ショックレーダイオード方程式

ショックレーのダイオード方程式、またはダイオードの法則は、ベル研究所のトランジスタの共同発明者であるウィリアム・ショックレーにちなんで名付けられ、中程度の定電流順方向バイアスまたは逆方向バイアスにおける半導体ダイオードの指数関数的な電流-電圧 (I-V) 関係をモデル化します。

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),}$

どこ

${\displaystyle I_{\text{D}}}$ダイオード電流は

${\displaystyle I_{\text{S}}}$逆バイアス飽和電流（またはスケール電流）である。

${\displaystyle V_{\text{D}}}$ダイオードにかかる電圧は

${\displaystyle V_{\text{T}}}$は熱電圧であり、

${\displaystyle n}$理想係数は、品質係数、放出係数、または材料定数とも呼ばれます。

理想係数が 1 の場合、この式はショックレーの理想ダイオード式と呼ばれ、省略されることもあります。理想係数は、製造プロセスと半導体材料に応じて、通常 1 ～ 2 の範囲で変化します (場合によってはそれ以上になることもあります)。理想係数は、実際のトランジスタで観察される不完全な接合(主に電荷キャリアが空乏領域を横切るときにキャリアの再結合による)を考慮して追加されました。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

熱電圧は次のように定義されます。 ${\displaystyle V_{\text{T}}}$

${\displaystyle V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},}$

どこ

${\displaystyle k}$はボルツマン定数であり、

${\displaystyle T}$はp-n接合の絶対温度であり、

${\displaystyle q}$は素電荷（電子の電荷の大きさ）です。

たとえば、 300 K (27 °C、80 °F) では約 25.852 mV になります。

逆飽和電流は特定のデバイスに対して一定ではなく、温度によって変化します。通常は よりも大きく変化するため、が増加するにつれて は通常減少します。 ${\displaystyle I_{\text{S}}}$${\displaystyle V_{\text{T}}}$${\displaystyle V_{\text{D}}}$${\displaystyle T}$

逆バイアス下では、ダイオード方程式の指数項は0に近くなるため、電流はある程度一定の逆電流値（シリコンダイオードの場合はおよそピコアンペア、ゲルマニウムダイオードの場合はマイクロアンペアですが、^[1]これは明らかにサイズの関数です）に近くなります。 ${\displaystyle -I_{\text{S}}}$

中程度の順方向バイアス電圧では、熱電圧が比較して非常に小さいため、指数は1よりもはるかに大きくなります。ダイオード方程式の は無視できるため、順方向ダイオード電流は近似されます。 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.}}$

回路問題におけるダイオード方程式の使用については、ダイオード モデリングに関する記事で説明されています。

内部抵抗により、実際のダイオードの I-V 曲線は高い順方向バイアスで「平坦化」します。ショックレーの式ではこれをモデル化できませんが、直列に抵抗を追加するとモデル化できます。

逆方向ブレークダウン領域（特にツェナーダイオードの場合）は、ショックレー方程式ではモデル化されません。

ショックレーの方程式は、ノイズ（内部抵抗によるジョンソン・ナイキストノイズやショットノイズなど）をモデル化しません。

ショックレーの式は定電流（定常状態）関係であるため、ダイオードの過渡応答（内部接合部と拡散容量、逆回復時間の影響を含む）を考慮していません。

ショックレーは、1949年に発表された長い論文で、pn接合にかかる電圧の方程式を導出しました。 ^[2]その後、彼は追加の仮定の下で、電圧の関数としての電流の対応する方程式を示しました。これは、私たちがショックレーの理想ダイオード方程式と呼ぶ方程式です。^{[3]彼はそれを「最大の整流効果をもたらす理論的な整流式」と呼び、脚注で}カール・ワグナーの論文、Physikalische Zeitschrift 32、pp. 641–645 (1931)を参照しました。

ショックレーは、電圧の方程式を導くために、総電圧降下を 3 つの部分に分けることができると主張しています。

• 正孔の準フェルミ準位が、p端子に印加された電圧のレベルから、ドーピングが中性である点（接合と呼ぶ）における準フェルミ準位の値まで低下すること。
• 接合部の正孔の準フェルミ準位と接合部の電子の準フェルミ準位の差、
• 接合からn端子までの電子の擬フェルミ準位の低下。

彼は、これらの最初と 3 番目は、抵抗と電流の積として表せることを示しています。2番目、つまり接合部の準フェルミ準位の差については、この差からダイオードに流れる電流を推定できると述べています。彼は、p 端子の電流はすべて正孔であるのに対し、n 端子の電流はすべて電子であり、これら 2 つの合計が一定の全電流であると指摘しています。したがって、全電流は、ダイオードの一方から他方への正孔電流の減少に等しくなります。この減少は、電子正孔対の再結合が電子正孔対の生成を上回っているためです。平衡状態、つまり 2 つの準フェルミ準位が等しい場合、再結合率は生成率に等しくなります。しかし、準フェルミ準位が等しくない場合は、再結合率は生成率の積になります。次に、過剰再結合（または正孔電流の減少）の大部分は、n材料への正孔拡散長1つ分とp材料への電子拡散長1つ分の距離にある層で起こり、この層では擬フェルミ準位間の差は一定であると仮定します。すると、全電流、つまり正孔電流の低下は、 ${\displaystyle I_{\text{D}}R_{1}.}$${\displaystyle e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}}$${\displaystyle L_{\text{p}}}$${\displaystyle L_{\text{n}}}$${\displaystyle V_{\text{J}}.}$

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),}$

どこ

${\displaystyle I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),}$

は生成率です。 を次のように解くことができます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle V_{\text{J}}}$${\displaystyle I_{\text{D}}}$

${\displaystyle V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right),}$

そして総電圧降下は

${\displaystyle V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right).}$

が小さいと仮定すると、ショックレーの理想ダイオード方程式が得られます。 ${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle V=V_{\text{J}}}$

高い逆バイアス下で流れる小さな電流は、層内で電子と正孔の対が熱的に生成された結果です。電子は n 端子に流れ、正孔は p 端子に流れます。層内の電子と正孔の濃度は非常に低いため、そこでの再結合は無視できます。

1950年にショックレーとその同僚は、理想的な方程式に厳密に従ったゲルマニウムダイオードを説明した短い論文を発表しました。 ^[4]

1954年、ビル・ファンとW・ファン・ルースブローク（ベル電話研究所に所属）は、ショックレーの式は特定のゲルマニウム接合には適用できるが、多くのシリコン接合では電流（かなりの順方向バイアス下）は に比例し、Aの値は2または3にもなると報告した。 ^[5]これが上記の理想係数である。 ${\displaystyle e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},}$ ${\displaystyle n}$

ファインマンは『ファインマン物理学講義I.46』でブラウン運動のラチェットを使った導出を行った。^[6]

1981年、アレクシス・デ・フォスとヘルマン・パウエルスは、特定の仮定の下で接合の量子力学をより注意深く分析すると、次のような形の電流対電圧特性が得られることを明らかにした。

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],}$

ここで、Aは接合部の断面積、F _{i は}単位面積あたり、単位時間あたりに入射する光子の数で、エネルギーはバンドギャップエネルギーを超え、F _o ( V )は出射する光子であり、 ^[7]で与えられる。

${\displaystyle F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{ kT_{c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .}$

出射光束に2倍の係数が必要なのは、光子が両側から放射されるのに対し、入射光束は片側からのみ来ると想定されるためである。この解析は照明下の太陽電池セルについて行われたが、この入射光束にも係数2が使用されることを条件として、照明が単なる背景熱放射である場合にも適用できる。この解析は、セルが光子のこの束を生成できるほど十分に厚いことを想定していることを除けば、一般的な理想ダイオードに対してより厳密な表現を与える。照明が単なる背景熱放射である場合、特性は次のようになる。

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].}$

ショックレーの法則とは対照的に、電圧がギャップ電圧hν _g /qに達すると、電流は無限大になることに注意してください。 もちろん、無限の再結合量を実現するには、無限の厚さが必要になります。

この式は最近、2D材料ベースのショットキーダイオードの最新モデル^[8]を使用して、改訂された電流における新しい温度スケーリングを考慮するために改訂されました。 ${\displaystyle I_{\text{S}}}$