デカルトの葉

幾何学において、デカルトの葉（ラテン語の folium  「葉」に由来し、ルネ・デカルトにちなんで名付けられた）は、暗黙の方程式によって定義される代数曲線である。 $${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0.}$$

この曲線は、 1638年にルネ・デカルトによって初めて提案され、研究されました。^{[1]この曲線が有名になったのは、}微積分の発展におけるある出来事によるものです。デカルトは、ピエール・ド・フェルマーに、曲線の任意の点における接線を見つけるように挑戦しました。フェルマーは接線を見つける方法を発見したばかりだったからです。フェルマーはこの問題を簡単に解決しましたが、デカルトにはできませんでした。^{[2]微積分の発明以来、接線の傾きは}暗黙の微分法を使って簡単に見つけることができます。^[3]

デカルトの葉は極座標で次のように 表すことができ、 左にプロットされる。これは^{[4]と同等である。}$${\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }},}$$

${\displaystyle r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta }{1+\tan ^{3}\theta }}.}$

もう一つの手法は、と をについて書き解くことです。これにより、有理パラメトリック方程式が得られます。^[5]${\displaystyle y=px}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}.}}$

次のように、パラメータが曲線上の位置に関連していることがわかります。

• ${\displaystyle p<-1}$に対応します。つまり、右下の「翼」です。${\displaystyle x>0}$${\displaystyle y<0}$
• ${\displaystyle -1<p<0}$、：左上の「翼」に対応します。${\displaystyle x<0}$${\displaystyle y>0}$
• ${\displaystyle p>0}$に対応します。: 曲線のループ。${\displaystyle x>0}$${\displaystyle y>0}$

関数をプロットする別の方法は、 上の対称性から導くことができます。対称性はその方程式から直接見ることができます (x と y は入れ替えることができます)。たとえば、45° 時計回りに回転すると、回転した x 軸上で対称な関数をプロットできます。 ${\displaystyle y=x}$

この操作は置換と同等であり 、次の式が得られます 。 を直交座標系でプロットすると、葉が 45° 回転し、軸で対称になります。 $${\displaystyle x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{uv} \over {\sqrt {2}}}}$$$${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}.}}$$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle u}$

これは、原点と漸近線を二重点とする第 1 象限のループを形成します。 これは直線 を中心に対称です。そのため、2 つは原点と点で交差します。 $${\displaystyle x+y+a=0\,.}$$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle (3a/2,3a/2)}$

暗黙の微分により、この曲線の接線の傾きの式は^[3] となる。上記のいずれかの極座標表現を使用すると、ループの内部の面積は となる。さらに、曲線の「翼」と傾斜した漸近線の間の面積も となる。^[1]$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}.}$$${\displaystyle 3a^{2}/2}$${\displaystyle 3a^{2}/2}$

デカルトの葉はマクローリンの三等分線とアフィン変換によって関連している。これを確認するには、方程式から始めて 変数を変更し、45度回転した座標系で方程式を見つけます。これは、設定に相当します。 $${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy\,,}$$

$${\displaystyle x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{XY} \over {\sqrt {2}}}.}}$$ 平面上では方程式は ${\displaystyle X,Y}$$${\displaystyle 2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2}).}$$

曲線をの係数で の方向に伸ばすと、これは マクローリンの三等分線の方程式になります。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$$${\displaystyle 2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2}),}$$

• J. デニス ローレンス:特殊平面曲線カタログ、1972 年、ドーバー出版。ISBN 0-486-60288-5 、pp . 106–108 
• ジョージ・F・シモンズ：微積分学の逸品：短い生涯と記憶に残る数学、ニューヨーク 1992 年、マグロウヒル、xiv、355。ISBN 0-07-057566-5 ;新版 2007 年、アメリカ数学協会 ( MAA ) 

ウィキメディア・コモンズには、デカルトの葉形に関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「デカルトのフォリウム」。マスワールド。
• MacTutor の有名な曲線インデックスの「デカルトの葉」
• MathCurve の「Cartesian Folium」