q-ハーン多項式

数学において、q-ハーン多項式は、基本的なAskey スキームにおける基本的な超幾何直交多項式 の族です。Roelof Koekoek、Peter A. Lesky、および René F. Swarttouw (2010、14) は、その特性の詳細なリストを示しています。

多項式は基本的な超幾何関数によって次の ように与えられる。

${\displaystyle Q_{n}(q^{-x};a,b,N;q)={}_{3}\phi _{2}\left[{\begin{matrix}q^{-n},abq^{n+1},q^{-x}\\aq,q^{-N}\end{matrix}};q,q\right].}$

q-ハーン多項式→ 量子q-クラフチューク多項式：

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }Q_{n}(q^{-x};a;p,N|q)=K_{n}^{qtm}(q^{-x}; p,N;q)}$

q-ハーン多項式→ ハーン多項式

をq-ハーン多項式の定義に 代入し、 q→1の極限を求めると、次式が得られる。${\displaystyle \alpha =q^{\alpha}}$${\displaystyle \beta =q^{\beta }}$

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(-n,\alpha +\beta +n+1,-x,\alpha +1,-N,1)}$、これはまさにハーン多項式です。

• ガスパー、ジョージ、ラーマン、ミザン（2004）、基本超幾何級数、数学とその応用百科事典、第96巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83357-8、MR  2128719
• ロエロフ・コエコーク。レスキー、ピーター A. Swarttouw、René F. (2010)、Hypergeometric orthogonal Polynomials and their q-analogues、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-05014-5、ISBN 978-3-642-05013-8、MR  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)、「第 18 章: 直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Costas-Santos, RS; Sánchez-Lara, JF (2011 年 9 月). 「非標準パラメータのq多項式の直交性」. Journal of approximation Theory . 163 (9): 1246–1268. arXiv : 1002.4657 . doi :10.1016/j.jat.2011.04.005. S2CID  115178147.