アロー・ドブリューモデル

数理経済学において、アロー・ドブリューモデルは理論上の一般均衡モデルである。これは、特定の経済的仮定（凸型選好、完全競争、需要の独立性）の下で、経済におけるあらゆる商品の総供給が総需要に等しくなるような価格体系が存在するはずであると仮定している。^[1]

このモデルは一般均衡理論の中心であり、他のミクロ経済モデルの一般的な基準として使用されています。このモデルは、1954年にケネス・アロー、ジェラール・ドブリュー^[1]、ライオネル・W・マッケンジーによって独立して提案され^[2]、1959年に改良されました^{[3] [4]。}

AD モデルは、競争経済の最も一般的なモデルの 1 つであり、一般均衡(またはワルラス均衡)の存在を証明するために使用できるため、一般均衡理論の重要な部分です。一般に、均衡は多数存在する可能性があります。

アロー（1972年）とデブリュー（1983年）は、このモデルの開発によりそれぞれノーベル経済学賞を受賞した。しかし、マッケンジーは受賞しなかった。^[5]

両方の定理（福祉経済学の基本定理）の内容は、経済学における古い信念です。Arrow と Debreu は最近、証明を可能にする手法を用いてこの問題を扱いました。

— ジェラール・ドブリュー『評価均衡とパレート最適』（1954年）

この発言はまさに正しい。かつては信念があったが、今は知識がある。価値理論で伝えられたアロー・デブリュー モデルは基本的な考え方を変え、すぐに価格理論の標準モデルとなった。これは金融、国際貿易、公共財政、輸送、さらにはマクロ経済学の「ベンチマーク」モデルである... かなり短期間で、マーシャル、ヒックス、サミュエルソンの「ありのまま」ではなくなり、むしろ価値理論の「ありのまま」になった。

— ヒューゴ・ソネンシャイン、デブルー会議での発言、バークレー、2005

^{このセクションは、 [6]}の発表に続くものである。^[7]

Arrow-Debreu モデルは、経済を 3 種類の主体 (世帯、生産者、市場) の組み合わせとしてモデル化します。世帯と生産者は市場と取引しますが、互いに直接取引することはありません。

世帯は、財産（世帯が最初に持っている商品の束）を所有しており、これを「相続」と考えることができます。数学的に明確にするために、すべての世帯は最初にすべての財産を市場に売却する必要があります。財産の一部を保有したい場合は、後で市場から買い戻す必要があります。財産には、労働時間、土地利用、トウモロコシのトン数などがあります。

世帯は生産者の比例所有権を保有しており、これは株式会社と考えることができます。生産者が得た利益は、各世帯が生産者のために保有する在庫の量に比例して世帯間で分配されます。所有権は最初に課され、世帯はそれらを販売、購入、作成、または廃棄することはできません。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

世帯は予算、寄付金の売却による収入、生産者の利益からの配当を受け取ります。世帯は商品の束に対して好みを持っており、与えられた仮定の下では効用最大化者となります。世帯は予算内で可能な限り最高の効用を持つ消費計画を選択します。

生産者は商品の束を他の商品の束に変換することができます。生産者には個別の効用関数はありません。代わりに、彼らはすべて純粋に利益を最大化する者です。

市場は、各商品の価格リストである市場価格ベクトルを「選択」することしかできず、すべての生産者と世帯はそれを受け入れる（交渉行動はなく、すべての生産者と世帯は価格受容者）。市場には効用も利益もない。その代わり、市場は、各世帯と生産者が効用と利益を最大化しても、消費と生産の計画が「調和」するような市場価格ベクトルを選択することを目指している。つまり、「市場がクリア」する。言い換えれば、市場は「ワルラス派の競売人」の役割を果たしている。

一般に、エージェントのインデックスは上付き文字で記述し、ベクトル座標のインデックスは下付き文字で記述します。

• ${\displaystyle x\succeq y}$もし${\displaystyle \forall n,x_{n}\geq y_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N}}$は、${\displaystyle x}$${\displaystyle x\succeq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N}}$は、${\displaystyle x}$${\displaystyle x\succ 0}$
• ${\displaystyle \Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}}$はN 単体です。価格ベクトルをスケールしてその上に載せることもあるため、これを価格単体と呼ぶこともあります。

• 商品はとして指数化されます。これが経済における商品の数です。これは有限の数です。${\displaystyle n\in 1:N}$${\displaystyle N}$
• 価格ベクトル は長さのベクトルで、各座標は商品の価格を表します。価格はゼロまたは正の値になります。${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$${\displaystyle N}$

• 世帯はとしてインデックス化されます。${\displaystyle i\in I}$
• 各家庭は、商品の備蓄から始まります。${\displaystyle r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• 各世帯は、生産者の所有権の組から始まります。所有権は を満たします。${\displaystyle \alpha ^{i,j}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J}$
• 世帯が受け取る予算は、市場価格での寄付金の売却による収入と、生産者の所有による利益の合計です。（ はお金を表します）$${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$${\displaystyle M}$
• 各世帯には消費可能性セット があります。${\displaystyle CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• 各世帯はに対して選好関係 を持っています。${\displaystyle \succeq ^{i}}$${\displaystyle CPS^{i}}$
• （次のセクションで与えられる）の仮定の下で、各選好関係は、デブリューの定理によって効用関数によって表現できます。したがって、選好を最大化する代わりに、世帯は効用を最大化していると同等に述べることができます。${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]}$
• 消費計画はのベクトルであり、 と表記されます。${\displaystyle CPS^{i}}$${\displaystyle x^{i}}$
• ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$消費計画のセットは と少なくとも同程度に好ましいです。${\displaystyle x^{i}}$
• 予算セットは、予算が負担できる消費計画のセットです。$${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$
• 各価格ベクトル に対して、世帯はとして商品の需要ベクトルを持ちます。この関数は、制約最大化問題の解として定義されます。これは経済と初期分布の両方に依存します。すべての に対して明確に定義されるとは限りません。ただし、均衡価格ベクトルで明確に定義されるよう、十分な仮定を使用します。${\displaystyle p}$${\displaystyle D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$$${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

• プロデューサーは としてインデックス付けされます。${\displaystyle j\in J}$
• 各生産者は生産可能性セットを 持っています。供給ベクトルは正と負の両方の座標を持つ場合があることに注意してください。たとえば、は商品 1 を 1 単位使用して商品 2 を 1 単位生産する生産計画を示します。${\displaystyle PPS^{j}}$${\displaystyle (-1,1,0)}$
• 生産計画はのベクトルであり、 と表記されます。${\displaystyle PPS^{j}}$${\displaystyle y^{j}}$
• 各価格ベクトル に対して、生産者は商品の供給ベクトル を持ちます。この関数は、制約最大化問題の解として定義されます。これは経済と初期分布の両方に依存します。すべての に対して明確に定義されるとは限りません。ただし、均衡価格ベクトルで明確に定義されるよう、十分な仮定を使用します。${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}}$$${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$
• 利益は​$${\displaystyle \Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

• 総消費可能性集合。${\displaystyle CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}}$
• 総生産可能性集合。${\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}}$
• 総寄付金${\displaystyle r=\sum _{i}r^{i}}$
• 総需要${\displaystyle D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• 総供給${\displaystyle S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• 過剰需要${\displaystyle Z(p)=D(p)-S(p)-r}$

• 経済はタプルです。これは、商品、消費者の嗜好、消費可能性セット、および生産者の生産可能性セットを指定するタプルです。${\displaystyle (N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})}$
• 初期分布を持つ経済は、経済の初期分布タプルを伴う経済です。${\displaystyle (r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}}$
• 経済の状態とは、各世帯と生産者の価格、消費計画、生産計画の組です。${\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$
• 状態は、各、各、およびの場合にのみ実行可能です。${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$
• 賦存量が与えられた場合、実現可能な生産可能性集合はです。${\displaystyle r}$${\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}}$
• 分配のある経済が与えられた場合、価格ベクトルに対応する状態 は です。${\displaystyle p}$${\displaystyle (p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})}$
• 分配のある経済を考えると、価格ベクトルは、初期分配のある経済の均衡価格ベクトルになります。つまり、商品が無料ではない場合は、供給が需要と正確に等しくなり、商品が無料の場合は、供給が需要と等しいかそれより大きくなります (無料の商品は供給過剰になることを許容します)。${\displaystyle p}$$${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$
• 状態が均衡状態であるとは、それが均衡価格ベクトルに対応する状態である場合に限ります。

関数は、すべての価格ベクトルに対して必ずしも明確に定義されているわけではありません。たとえば、生産者 1 が商品 1 の単位を商品 2 の単位に変換でき、が成り立つ場合、生産者は無限の利益を持つ計画を作成できるため、 となり、 は定義されません。 ${\displaystyle D^{i}(p),S^{j}(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\sqrt {(t+1)^{2}-1}}}$${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$${\displaystyle \Pi ^{j}(p)=+\infty }$${\displaystyle S^{j}(p)}$

したがって、「制限市場」は、すべての生産者が生産計画 を使用する必要があるという普遍的な上限 があることを除いて同じ市場であると定義します。各世帯は消費計画 を使用する必要があります。制限市場における対応する数量をチルダで表します。したがって、たとえば、制限市場の超過需要関数は です。^[8]${\displaystyle C}$${\displaystyle \|y^{j}\|\leq C}$${\displaystyle \|x^{i}\|\leq C}$${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$

${\displaystyle C}$は、均衡条件下では制約が適用されないように、経済にとって「十分に大きい」ように選択されます（次のセクションを参照）。詳細には、は、次の条件を満たすように十分に大きいように選択されます。 ${\displaystyle C}$

• となるような消費計画はどれも「贅沢」なため、すべての生産者が調整したとしても需要を満たすには不十分です。${\displaystyle x}$${\displaystyle x\succeq 0,\|x\|=C}$
• 経済 の生産計画の任意のリストについて、 であれば、各 について となります。言い換えると、与えられた賦存量 の下で達成可能な任意の生産計画について、各生産者の個々の生産計画は、制約内に厳密に収まらなければなりません。${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$${\displaystyle \|y^{j}\|<C}$${\displaystyle j\in J}$${\displaystyle r}$

それぞれの要件は満たせます。

• 達成可能な総生産計画の集合を と定義すると、上記の生産者に関する仮定（特に「任意の大きな無料ランチはない」という仮定）の下で、 は任意の に対して有界になります（証明は省略）。したがって、最初の要件は満たされます。${\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}$${\displaystyle PPS_{r}}$${\displaystyle r\succeq 0}$
• 達成可能な個々の生産計画のセットを、上記の生産者に対する仮定（特に「任意に大きな変換がない」という仮定）の下で、任意の（証明は省略）に対して制限されるものとして定義します。したがって、2 番目の要件は満たされます。${\displaystyle PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}}$${\displaystyle PPS_{r}^{j}}$${\displaystyle j\in J,r\succeq 0}$

これら 2 つの要件を合わせると、生産計画と消費計画が制約の 「内部」にある場合、その制約は実際の制約ではないことが示されます。

• 任意の価格ベクトル において、であればが存在し、 に等しくなります。言い換えると、制約のある生産者の生産計画が人為的な制約の内側にある場合、制約のない生産者も同じ生産計画を選択します。これは の 2 番目の要件を利用することで証明されます。${\displaystyle p}$${\displaystyle \|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C}$${\displaystyle S^{j}(p)}$${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$${\displaystyle C}$
• すべて の場合、制約のある世帯と制約のない世帯の予算は同じになります。 ここで も成り立つ場合、 が存在し、 と等しくなります。 言い換えると、制約のある世帯の消費計画が人為的な制約の内部にある場合、制約のない世帯は同じ消費計画を選択することになります。 これは の最初の要件を利用することで証明されます。${\displaystyle S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)}$${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C}$${\displaystyle D^{i}(p)}$${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)}$${\displaystyle C}$

これら 2 つの命題は、制限された市場の均衡が制限されていない市場の均衡であることを意味します。

構築の最後の部分として、ワルラスの法則を定義します。

• 制限のない市場が においてワルラスの法則を満たすのは、すべて が定義され、、つまり、${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$${\displaystyle \langle p,Z(p)\rangle =0}$$${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$
• 制限市場は、のときにのみワルラスの法則を満たします。${\displaystyle p}$${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0}$

ワルラスの法則は両側から解釈できます。

• 家計の側から見ると、家計支出総額は、家計利益総額と財産売却収入総額に等しいと言われています。つまり、どの家計も予算の全額を支出していることになります。
• 生産者側から見ると、総利益と総コストを足したものが総収入に等しいと言えます。

上記の証明では、関数が収縮であるという保証がないため、均衡を見つけるための反復アルゴリズムは提供されないことに注意してください。これは驚くべきことではありません。なぜなら、（さらなる仮定がなければ）市場均衡が安定した均衡であるという保証はないからです。 ${\displaystyle f}$

1954 年、マッケンジーとアロー・ドブリューのペアは、コンパクト凸集合からそれ自体への連続関数の不動点に対する角谷の不動点定理を適用することで、一般均衡の存在を独立に証明しました。アロー-ドブリューのアプローチでは、そのような不動点定理は非凸集合には適用できないため、凸性が重要です。たとえば、単位円を90 度回転させると不動点がありませんが、この回転はコンパクト集合からそれ自体への連続変換であり、コンパクトではありますが、単位円は非凸です。対照的に、単位円の凸包に同じ回転を適用すると、点 (0,0)は固定されます。角谷の定理は、正確に 1 つの不動点が存在することを主張していないことに注意してください。単位円を y 軸を挟んで反射すると、垂直線分が固定されるため、この反射には無限の数の不動点があります。

凸性の仮定は多くの応用を妨げたが、1959年から1961年にかけてフランシス・M・バトール、M・J・ファレル、チャリング・クープマンス、トーマス・J・ローゼンバーグらが政治経済ジャーナル^{で議論した。 [9]}ロス・M・スター（1969年）は、一部の消費者の選好が凸である必要がない場合に経済均衡 が存在することを証明した。^[9]スターは論文で、「凸状」経済には、元の経済の「準均衡」に近似した一般均衡があることを証明した。スターの証明にはシャプレー・フォークマン定理が使用された。^[10]

（宇沢、1962）^[11]は、ワルラスの法則を満たす連続的な超過需要関数を特徴とする経済における一般均衡の存在は、ブラウワーの不動点定理と同等であることを示した。したがって、ブラウワーの不動点定理の使用は、均衡が一般に存在していることを示すために不可欠である。^[12]

福祉経済学において、考えられる懸念事項の 1 つは、経済にとって パレート最適な計画を見つけることです。

直感的に、福祉経済学の問題は、経済全体のマスタープランナーが直面する問題であると考えることができます。つまり、社会全体の初期賦存量が与えられた場合、プランナーは生産と消費の実現可能なマスタープランを選択する必要があります。マスタープランナーはマスタープランを選択する際に幅広い自由を持っていますが、合理的なプランナーであれば、誰かの効用が増大し、他の全員の効用が減少しない場合は、それがより良いプランであることに同意するはずです。つまり、パレート順序に従う必要があります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$

すべての計画の集合上のパレート順序を、すべて に対して のときに限りによって定義します。 ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})}$${\displaystyle x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}}$${\displaystyle i\in I}$

そして、ある計画が実行可能であり、かつパレート順序付けにおいて厳密により優れた別の実行可能な計画が存在しない場合にのみ、 その計画は初期賦与に関してパレート効率的であると言える。${\displaystyle r}$

一般的に、各初期基金に対して、パレート効率的な計画の連続体が存在します。 ${\displaystyle r}$

この設定により、福祉経済学の2つの基本定理が得られる。^[13]

証明のアイデア: パレート最適消費計画はどれも、達成可能な消費計画の集合から超平面によって分離されます。超平面の傾斜は均衡価格になります。そのような価格の下では、各生産者と世帯が与えられた状態を最適と見なすことを確認します。ワルラスの法則が成り立つこと、つまり支出が収入と利益の合計と一致し、各世帯に必要な予算を正確に提供できることを確認します。

厳密な凸性の仮定は、凸性に緩和することができます。この修正により、需要と供給の関数が点値関数から集合値関数 (または「対応」) に変更され、Brouwer の不動点定理が Kakutani の不動点定理に適用されます。

この修正は、ミニマックス定理をナッシュ均衡の存在に一般化することに似ています。

福祉経済学の 2 つの基本定理は修正なしで当てはまります。

市場均衡の定義では、すべての世帯が予算制約の下で効用最大化を実行すると仮定しています。つまり、双対問題は、効用制約の下での費用最小化です。つまり、ある実数に対してです。2つの問題間の双対性ギャップは非負であり、正の場合もあります。その結果、一部の著者は双対問題とその「準均衡」^[14]（または「補償均衡」^[15]）の特性を研究しています。すべての均衡は準均衡ですが、その逆は必ずしも真ではありません。^[15]$${\displaystyle {\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}}$$${\displaystyle u_{0}^{i}}$

このモデルでは、すべての生産者と世帯は「価格受容者」であり、価格ベクトルを使用して市場と取引することを意味します。特に、カルテル、独占、消費者連合などの行動はモデル化されていません。エッジワースの極限定理は、特定のより強い仮定の下では、世帯は無限に大きい経済の限界において価格受容以上のことはできないことを示しています。 ${\displaystyle p}$

詳細には、家計と生産者に関する経済モデルを継続しますが、市場経済とは異なる方法で商品の生産と分配を設計します。これは、「社会主義」経済のモデルとして解釈できます。

• お金も市場も生産者の私有財産もありません。
• 私たちは私有財産、お金、そして利益の動機を廃止したので、生産者を区別する意味はありません。その結果、各生産者が個別に計画するのではなく、社会全体で 1 人の偉大な生産者が生産しているかのようになります。${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$${\displaystyle y\in PPS}$
• 世帯の好みや財産は以前と変わりませんが、予算はなくなりました。
• 生産者は利益を最大化するために生産するわけではありません。利益がないからです。すべての世帯が協力して、次のような制約のもとで、経済全体の生産と消費の計画である国家 を作ります。${\displaystyle ((x_{i})_{i\in I},y)}$$${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$
• 空でない世帯のサブセットは、生産者の管理を維持しながら、他のすべての世帯を排除することができます。

したがって、この経済は各世帯がプレーヤーとなる協力ゲームであり、協力ゲーム理論からは次のような概念が得られます。

• ブロッキング連合は、他のすべての世帯を排除した場合でも厳密にパレートより良い計画が存在するような、空でない世帯のサブセットです。
• 州が中核州となるのは、阻止する連合がない場合に限られます。
• 経済の中核は中核となる国家の集合体です。

空でない世帯のサブセットは、生産者の制御を維持しながら、他のすべての世帯を排除できると想定しているため、実行できる状態はコア状態のみです。コア状態でない状態は、世帯の連合によって直ちに反対されます。

に関してもう 1 つ仮定が必要です。それは、 は円錐、つまり任意の に対して であるということです。この仮定により、経済が自明になる 2 つの方法が排除されます。 ${\displaystyle PPS}$${\displaystyle k\cdot PPS\subset PPS}$${\displaystyle k\geq 0}$

• 無料ランチの呪い: このモデルでは、全体は、1 つの連合であっても、空でない連合に利用可能です。したがって、誰も財産を持たず、それでも「無料ランチ」が含まれている場合、(好みが単調であると仮定すると) すべての世帯がすべてを自分で取りたがるため、結果としてコア ステートは存在しません。直感的に、この世界の図は、自分だけの無料のランチ全体を提供しない計画を拒否する利己的な人々の委員会です。${\displaystyle PPS}$${\displaystyle PPS}$${\displaystyle y\succ 0}$${\displaystyle y}$
• 成長の限界: 2 つの商品がある社会を考えてみましょう。1 つは「労働」、もう 1 つは「食料」です。家庭には労働のみが備わっており、消費するのは食料のみです。これは、平らな上部を持つ傾斜路のように見えます。つまり、0 ～ 1,000 時間の労働を投入すると、直線的に 0 ～ 1,000 kg の食料が生産されますが、それ以上の労働では食料は生産されません。ここで、各家庭に 1,000 時間の労働が備わっていると仮定します。すべての家庭がすぐに他のすべての家庭をブロックすることは明らかです。なぜなら、1 つの家庭がすべてを自分のために使用した方が常に良いからです。${\displaystyle PPS}$${\displaystyle PPS}$

Debreu と Scarf の論文では、彼らは「世帯の複製」によって無限に大きい経済にアプローチする特定の方法を定義しました。つまり、任意の正の整数 に対して、世帯 とまったく同じ消費可能性セットと選好を持つ世帯が存在する経済を定義します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$

を世帯 の -番目の複製の消費計画 とします。任意の および に対してその時に限り、計画が公平であると定義します。 ${\displaystyle x^{i,k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle k,k'\in K}$

一般的に、状態は各複製を別々に扱うため、非常に複雑になります。ただし、コア状態ははるかに単純です。公平であり、すべての複製を平等に扱います。

したがって、コア状態を研究する場合、各タイプの世帯ごとに 1 つの消費計画を検討すれば十分です。ここで、世帯ごとに複製がある経済のすべてのコア状態の集合を と定義します。 であることは明らかなので、コア状態の極限集合を と定義できます。 ${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots }$${\displaystyle C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}}$

には元の経済の市場均衡の集合が含まれていることを見てきました。逆もまた、小さな追加仮定の下では真です。 ^[16]${\displaystyle C}$

が多角錐である、またはすべての が空でない内部構造を持つという仮定は、「準平衡」という技術的な問題を回避するために必要です。この仮定がなければ、 が準平衡の集合に含まれている ことしか証明できません。${\displaystyle PPS}$${\displaystyle CPS^{i}}$${\displaystyle C}$

生産可能性集合が凸であるという仮定は、規模の経済がないことを意味するため、強い制約となります。同様に、非凸消費可能性集合と非凸選好を考慮することもできます。このような場合、供給関数と需要関数は価格ベクトルに関して不連続になる可能性があり、したがって一般均衡は存在しない可能性があります。 ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$

しかし、経済を「凸状化」し、その均衡を見つけると、シャプレー・フォークマン・スターの定理により、それは元の経済のおおよその均衡になります。

詳細には、とが凸状であることを除いて、与えられたすべての仮定を満たす任意の経済が与えられた場合、「凸状経済」を、 ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$${\displaystyle \succeq ^{i}}$

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$もしそうなら。${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$

ここで は凸包を表します。 ${\displaystyle \mathrm {Conv} }$

これにより、凸状経済の一般均衡は、元の経済の近似均衡でもある。つまり、が凸状経済の均衡価格ベクトルである場合、^[17]はユークリッド距離であり、はすべての内半径の任意の上限である（内半径の定義については、シャプレー・フォークマン・スターの定理のページを参照）。 ${\displaystyle p^{*}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle L}$${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$

凸状経済は仮定を満たさない場合があります。たとえば、集合は閉じていますが、その凸包は閉じていません。凸状経済も仮定を満たすというさらなる仮定を課すと、元の経済は常に近似均衡を持つことがわかります。 ${\displaystyle \{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}}$

Arrow-Debreu モデルの商品は完全に抽象的です。したがって、通常は静的な市場として表現されますが、1 つの商品を複数の商品に分割し、それぞれが特定の時間、場所、世界の状況に応じて変化させることで、時間、空間、不確実性をモデル化するために使用できます。たとえば、「リンゴ」は、「オレンジが入手可能な場合は 9 月にニューヨークにあるリンゴ」と「オレンジが入手できない場合は 6 月にシカゴにあるリンゴ」に分割できます。

いくつかの基本商品が与えられた場合、アロー・デブリュー完全市場とは、将来のあらゆる時点、あらゆる受渡場所、検討中の世界のあらゆる状態、あらゆる基本商品に対して個別の商品が存在する市場です。

金融経済学において、 「アロー・デブリュー」という用語は、通常、アロー・デブリュー証券を指します。標準的なアロー・デブリュー証券は、特定の世界状態に達した場合に1 単位のニューメレールを支払い、それ以外の場合は 0 を支払う証券です (このような証券の価格は、いわゆる「状態価格」です)。したがって、決済値が契約日時点で価値が不確定な原資産の関数であるデリバティブ契約は、アロー・デブリュー証券の線形結合として分解できます。

1978年のブリーデンとリゼンバーガーの研究^[18]以来、多くの研究者がオプションを使用してアロー・デブリュー価格を抽出し、金融経済学のさまざまな用途に使用してきました。^[19]

ここでは貨幣理論は提示されておらず、経済は交換手段として機能する商品の助けなしに機能すると想定されています。

— ジェラール・ドブリュー『価値理論：経済均衡の公理的分析』（1959年）

純粋理論家にとって、現時点で貨幣の最も興味深く挑戦的な側面は、アロー・デブリュー経済では貨幣が存在できないということである。この状況はマクロ経済学者にとってもかなり重要な意味を持つはずだが、実際にはめったにそうならない。

— フランク・ハーン『貨幣理論の基礎』（1987年）

典型的には、経済学者はお金の機能を計算単位、価値の貯蔵、交換手段、延払いの基準とみなす。しかし、これは前述のアロー・デブリュー完全市場とは相容れない。完全市場では、市場での取引は「時間の始まり」に一度だけ行われる。その後、家計や生産者は、時間の終わりまで計画された生産、消費、商品の配達を実行するだけである。したがって、価値の貯蔵や交換手段は役に立たない。これはアロー・デブリュー完全市場だけでなく、形式は異なるが数学的には同等のモデル（条件付き商品市場やアロー保険契約など）にも当てはまる。^[20]

Scarf（1967）^[21]は一般均衡を計算する最初のアルゴリズムでした。レビューについては Scarf（2018） ^[22]とKubler（2012）^{[23]を参照してください。}

特定の賦存ベクトルにおける特定の経済は、無限の均衡価格ベクトルを持つかもしれない。しかし、「一般的に」、経済は有限個の均衡価格ベクトルしか持たない。ここで「一般的に」とは、サールの定理にあるように、「ルベーグ測度ゼロの閉集合を除くすべての点において」という意味である。^{[24] [25]}

このような一般性定理は数多く存在する。一例を挙げると次の通りである。^{[26] [27]}

• モデル（経済学）
• 不完全な市場
• Arrow-Debreu 交換市場- 世帯 (買い手と売り手の両方になることができる) のみが存在し、生産者は存在しない、より単純な市場モデル。
• フィッシャー市場- さらに単純な市場モデルで、買い手だけが存在し、各製品の合計数量が与えられ、各買い手は金銭的な予算のみを持っています。
• 資産価格に関する記事一覧
• 金融経済学 § 基礎経済学

• Athreya, Kartik B. (2013)。「現代のマクロ経済学的アプローチと Arrow-Debreu-McKenzie モデル」。マクロ経済学のビッグアイデア: 非技術的な視点。ケンブリッジ: MIT 出版。pp. 11–46。ISBN 978-0-262-01973-6。
• Geanakoplos, John (1987) 「一般均衡のアロー・ドブリューモデル」『新パルグレイブ経済学辞典』第 1 巻、116 ～ 124 ページ。
• 高山 明 (1985).数理経済学(第2版). ロンドン: ケンブリッジ大学出版局. pp. 255–284. ISBN 978-0-521-31498-5。
• Düppe, Till (2012). 「Arrow and Debreu de-homogenized」. Journal of the History of Economic Thought . 34 (4): 491–514. CiteSeerX  10.1.1.416.2120 . doi :10.1017/s1053837212000491. S2CID  15771197.

• アロー・デブリュー・マッケンジー経済モデルに関するノート、キム・C・ボーダー教授 、カリフォルニア工科大学
• ファイナンスの「基本定理」; パート II.マーク・ルビンスタイン教授、ハース経営大学院 ^{[リンク切れ‍ ]}