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結び目の数学理論では、アンノット、ノットではない、または自明な結び目は、すべての結び目の中で最も結び目の少ないものです。[ 1 ]直感的には、アンノットは結び目が結ばれていない、結び目のないロープの閉じたループです。結び目理論家にとって、アンノットは、幾何学的に丸い円、つまり標準アンノットと周囲が同位（つまり変形可能）である、3次元球面内の任意の埋め込み位相円です。
非結び目は、埋め込み円盤の境界となる唯一の結び目であり、非結び目のみがザイフェルト種数0を持つという特徴を与える。同様に、非結び目は結び目和演算に関して単位元である。
アンノットとは、結び目を含まず、原理的にはループのどの部分も他の部分を貫通することなく円に引き伸ばすことができる、3次元の閉じたループのことです。アンノットの図は、その3次元形状を2次元に投影したもので、ループが交差しているように見えることがあります。曲線の2つの部分が交差する各交点において、図は曲線のどの部分が他の部分の上または下を通過するかを示します。与えられた図がアンノットであるかどうかを証明するには、図が円になるまですべての交点をなくすために、一連のライデマイスター操作をその図に適用する必要があります。これは図の単純化として知られています。これには通常、図の部分を互いに交差させる（ライデマイスタータイプIIおよびIII）か、ループをほどく（タイプI）ことが含まれます。個々の図は少数のライデマイスター操作で単純化できますが、任意の図に対して何回の操作が必要になるかを知ることは非常に困難です。
特定の結び目が未解結び目であるかどうかを判断することは、結び目不変量の主要な推進力でした。なぜなら、このアプローチによって、結び目図などの表現から未解結び目を認識する効率的なアルゴリズムが得られる可能性があると考えられていたからです。未解結び目の認識は、 NPとco-NPの両方で知られています。
結び目フローアホモロジーとホバノフホモロジーはアンノットを検出できることが知られているが、これらがこの目的のために効率的に計算できるかどうかは不明である。ジョーンズ多項式または有限型不変量がアンノットを検出できるかどうかは不明である。
糸が絡まっていない状態から解くことは可能だとしても、実際に解く方法を見つけるのは難しい場合があります。ThistlethwaiteとOchiaiは、解く結び目の図を簡略化する明確な方法がなく、図の交差数を一時的に増やす必要がある例を多数示しました。このようなケースは、解くのが難しい結び目として知られています。
ロープは一般的に閉じた輪の形ではないが、端同士を結び合わせる標準的な方法が存在する場合もある。この観点からすると、多くの実用的な結び目は実際には解けた結び目であり、輪状に結ぶことができる結び目も含まれる。[ 2 ]
すべての整った結び目は、リンク機構として表現できます。リンク機構とは、端点でユニバーサルジョイントで接続された剛体線分の集合です。スティック数とは、結び目をリンク機構として表現するために必要な最小の線分数であり、固着した結び目とは、平坦な凸多角形に再構成できない特定の結び目のないリンク機構です。[ 3 ]交差数と同様に、リンク機構を単純化する前に、その線分を細分化してより複雑にする必要がある場合があります。
ハードアンノットとは、解けていることを証明するのが難しい解け目の図のことです。ハードアンノットの図は通常、少なくとも10個の交差を持ち、その難しさは、結び目に対する人間の認識と、図を円に縮小するために必要なライデマイスター移動の数の両方から生じます。通常、ハードアンノットの図では、交差の数をゼロにする前に、追加の交差を導入する必要があります。これらの図は、解け目アルゴリズムに関する予想を検証できるケースとして機能するため、結び目理論の分野で重要です。[ 4 ]
初期のハードアンノット図の例は、 1934 年にLebrecht Goeritzによって作成されました。Goeritz アンノットとして知られる図には 11 個の交差がありますが、それを単純化するために追加の交差を作成する必要があります。[ 5 ]もう 1 つの初期の図は「犯人」として知られており、1988 年にKen Millettによって作成されました。 [ 6 ]この図には 10 個の交差があります。平面の Reidemeister 移動を使用して結び目を解くには、少なくとも 2 つの追加の交差を導入して、図が少なくとも 12 個の交差に達する必要があります。（ただし、球面 Reidemeister 移動を使用する場合は、新しい交差を 1 つだけ導入する必要があることに注意してください。）Rob Scharein によって作成された「モンスター」など、ハードアンノットを単純化できることを物理エンジンを使用して示した他の多くの例があります。[ 7 ] 2025年の計算研究では、利用可能なアルゴリズムでは単純化できないが、結び目不変量の計算によって結び目がないと判断された、260万件のハードアンノット図が見つかった。[ 8 ]
解け結び目のアレクサンダー・コンウェイ多項式とジョーンズ多項式は自明である。
交差数が10個以下の結び目は、自明なアレクサンダー多項式を持たないが、木下・寺坂結び目とコンウェイ結び目（いずれも交差数が11個）は、アンノットと同じアレクサンダー多項式とコンウェイ多項式を持つ。非自明な結び目がアンノットと同じジョーンズ多項式を持つかどうかは未解決問題である。
図が平面ではなく球面上にある場合、図の一部が（例えば）北極を滑り、赤道を越え、南極から引き上げられる可能性があるため、結び目をほどくのはより簡単になります。ゲーリッツ結び目とカルプリットの両方の場合、球面上では（2つではなく）1つの追加交差のみが必要であり、モンスターはもはや追加の交差を必要としません。2021年に、これまで発表された難しい結び目の例は、球面上で1つ以上の追加交差を必要としないことが実証されました。[ 9 ]計算手法を使用して、球面または平面上で少なくとも3つの追加交差を必要とする新しい難しい結び目図が作成されました。これらは現在知られている最も難しい結び目です。
