数える

計数とは、有限個の対象物の集合の要素数を決定するプロセス、つまり集合のサイズを決定するプロセスです。従来の計数方法は、集合の要素ごとに（心の中で、あるいは声に出して）カウンターを1ずつ増やしながら、同じ要素を2回以上訪れないように要素に印を付けたり（または移動させたり）していき、印を付けていない要素がなくなるまで続けます。最初の対象物の後でカウンターを1に設定した場合、最後の対象物を訪れた後の値が目的の要素数になります。関連する用語である列挙とは、有限（組み合わせ）集合または無限集合の要素を、各要素に番号を割り当てることによって一意に識別することを指します。

数を数える際には、1以外の数も含まれることがあります。例えば、お金を数えるとき、お釣りを数えるとき、「2ずつ数える」（2、4、6、8、10、12、 …）、または「5ずつ数える」（5、10、15、20、25、 …）などです。

考古学的証拠によれば、人類は少なくとも5万 年前から数を数えていたことが示唆されている。^{[ 1 ]}古代文化では、数えることは主に集団のメンバー数、獲物となる動物の数、財産、負債（つまり会計）などの社会的および経済的データを記録するために用いられていた。南アフリカのボーダー洞窟では、刻み目のある骨も発見されており、これは紀元前4万4000年頃には人類が数えるという概念を知っていたことを示唆している可能性がある。^{[ 2 ]}数えることの発達は、数学的記号、数字体系、文字の発達につながった。

口頭での数え方は、進行状況を追跡するために、順番に数字を声に出して、または心の中で唱えることです。一般的に、このような数え方は「1、2、3、4」などの10進 数で行われます。口頭での数え方は、時間の経過に伴う数え方よりも、現在存在する物の数え方によく用いられます。なぜなら、中断した場合、数え方は中断した時点から再開する必要があり、その時点の数字を記録したり記憶したりしなければならないからです。

少数の物を数える場合、特に時間の経過に伴う数え方としては、タリーマークを使うと効率的です。各数ごとにマークを付け、集計が終わったらすべてのマークを数えます。タリーマークは1を基数 とした数え方です。

指を使った数え方は、少数の数を数えるのに便利で一般的です。子供たちは、数えやすくしたり、簡単な計算を行うために指を使って数えます。昔の指を使った数え方では、4本の指と各指の3つの骨（指節）を使って12まで数えていました。^{[ 3 ]}他の手の動きを使ったシステムも使われており、例えば、片手の動きだけで10まで数えられる中国のシステムなどがあります。指のバイナリーでは、1023 = 2 ¹⁰ − 1まで指の数え方を維持することができます。

集計を容易にするために、タリーカウンターやそろばんなどの様々な機器を使用することもできます。

包括的計数と排他的計数は、2つの異なる計数方法です。包括的計数では、開始点の始点から最終点の終点までを数えます。排他的計数では、各区間の終点で数を数えるため、開始点は除外されます。このため、同じ集合の場合、包括的計数を用いると、排他的計数を用いる場合よりも常に1つ多く数えられます。数直線にゼロを導入することでこの問題は解決されたようですが、包括的計数は依然として有用な場合もあります。

オフバイワンエラーの一種であるフェンスポストエラーも参照してください。

包括的な日数え方は、通常、ローマ暦やロマンス語で時間を扱う際に見られます。^{[ 4 ]}古代ローマ暦では、ノネス（「9」を意味する）はイデスの8日前です。より一般的には、日付は次の指定された日までの包括的な日数として指定されます。^{[ 4 ]}

キリスト教の典礼暦では、クインクアジェシマ（50を意味する）は復活祭の日曜日の49 日前です。「含めて」数える場合、日曜日（開始日）が1日目となり、次の日曜日が8日目となります。例えば、フランス語で「2週間」はquinzaine（15 日間）で、ギリシャ語（δεκα πενθήμερο 、deka penthí mero ） 、スペイン語（quincena ）、ポルトガル語（quinzena ）にも同様の単語があります。

対照的に、英語の「fortnight」という単語自体は「a fourteen-night」に由来し、古語の「sennight」も「a seven-night」に由来します。英語の単語は、包括的な数え方の例ではありません。英語のような排他的な数え方をする言語では、「日曜日から」8日間を数える場合、月曜日が1日目、火曜日が2日目、次の月曜日が8日目になります。長年、イギリスの法律では「from a date」というフレーズが「その日付の翌日から始まる」という意味で使われるのが一般的でしたが、誤解を招くリスクが高いため、現在ではこの慣習は推奨されていません。^{[ 5 ]}

東アジアの年齢計算でも同様の計算が行われており、新生児は生まれた時点で1歳とみなされる。

音楽用語では、標準音階の音間の音程を包括的に数える方法も用いられます。1音上がると2番目の音程、2音上がると3番目の音程、といった具合に、7音上がると1オクターブとなります。

数を数えることを学ぶことは、世界のほとんどの文化において重要な教育的、発達的節目です。数を数えることを学ぶことは、子供が数学に足を踏み入れる最初のステップであり、その分野の最も基本的な概念を構成します。しかし、アマゾンやオーストラリアの奥地の一部の文化では数を数える習慣がなく、^{[ 6 ] [ 7 ]}言語に数詞がありません。

2歳児の多くは、数え方のリスト（つまり、「1、2、3、 …」と言うこと）を暗唱するスキルをある程度身につけています。また、例えば「3の次は？」のように、小さな数の順序に関する質問にも答えることができます。さらに、セット内の各オブジェクトを指さして、単語を一つずつ暗唱するスキルも身につけています。このことから、多くの親や教育者は、子供が数えることでセットの大きさを判断する方法を知っていると結論付けています。^{[ 8 ]}研究によると、子供がこれらのスキルを習得してから、その意味と手順を実行する理由を理解するまでに約1年かかるとされています。^{[ 9 ] [ 10 ]}その間、子供たちは、瞬時に認識できる基数に名前を付ける方法を学びます。

数学において、集合を数えて結果nを求めることの本質は、対象となる集合と正の整数の部分集合 {1, 2, ..., n } との間に一対一対応（または全単射）を確立することにある。数学的帰納法によって証明できる基本的な事実として、 n = mでない限り、{1, 2, ..., n } と {1, 2, ..., m }の間には全単射は存在しない。この事実（および2つの全単射を組み合わせることで別の全単射が得られるという事実）により、同じ集合を異なる方法で数えても、異なる数になることは決してない（誤りがない限り）。これが、数えることの目的を定める基本的な数学定理である。有限集合をどのように数えても、答えは同じである。より広い文脈では、この定理は（有限）組み合わせ論の数学分野における定理の一例である。そのため、（有限）組み合わせ論は「数える数学」と呼ばれることもある。   

数学において現れる多くの集合は、任意の自然数n に対して {1, 2, ..., n }との全単射を成立させることができません。これらは無限集合と呼ばれ、一方、そのような全単射が存在する集合（あるnに対して）は有限集合と呼ばれます。無限集合は通常の意味で数えることはできません。まず、有限集合に関する通常の意味を支える数学的定理は、無限集合では成り立ちません。さらに、これらの定理を述べる際に用いられる概念の異なる定義は、有限集合では等価ですが、無限集合の文脈では等価ではありません。

数えるという概念は、よく理解されている集合との全単射の存在を確立するという意味で、それらにも拡張できます。たとえば、ある集合がすべての自然数の集合と全単射で結ばれる場合、その集合は「可算無限」と呼ばれます。この種の数え方は、有限集合の数え方とは根本的に異なります。なぜなら、集合に新しい要素を追加しても、元の集合との全単射の可能性が排除されないため、必ずしも集合のサイズが大きくなるわけではないからです。たとえば、すべての整数（負の数を含む）の集合は、自然数の集合と全単射で結ばれ、すべての有限有理数列のような一見はるかに大きな集合でさえ、（単に）可算無限です。しかしながら、実数の集合のように、自然数との全単射を許容するには「大きすぎる」ことが示される集合もあり、これらの集合は「非可算」と呼ばれます。全単射が存在する集合は同じ濃度を持つと言われ、最も一般的な意味では、集合を数えることはその濃度を決定することとみなすことができます。各自然数によって与えられる濃度を超えて、無限の濃度の無限階層が存在しますが、通常の数学（つまり、可能な濃度を明示的に研究する集合論以外）では、そのような濃度はごくわずかしか現れません。

主に有限集合の数え上げは、数学において様々な応用例がある。重要な原理の一つは、2つの集合XとYが同じ有限個の要素を持ち、関数f : X → Yが単射であることが分かっている場合、fは全射でもあり、その逆もまた然りであるということである。関連する事実として、鳩の巣原理と呼ばれるものがあり、これは、2つの集合XとYがnとmの有限個の要素を持ち、 n > mである場合、任意の写像f : X → Yは単射ではない（つまり、 fがYの同じ要素に写像するXの異なる2つの要素が存在する）と述べている。これは前述の原理から導かれる。なぜなら、 fが単射であれば、m個の要素を持つXの厳密な部分集合Sへのfの制限も単射となり、その制限は全射となるが、S外のXのxに対してf(x)が制限の像になり得ないという事実に矛盾するからである。同様の数え上げの議論は、例を明示的に示さずに特定の対象の存在を証明することができる。無限集合の場合、これは例を示すことが不可能な状況にも当てはまる可能性がある。

列挙的組み合わせ論の領域は、有限集合の要素の数を実際に数えることなく計算することを扱います。後者は通常不可能です。なぜなら、任意の自然数nに対する{1, 2, ..., n } の順列の集合のように、有限集合の無限族が一度に考慮されるからです。