超対称ゲージ理論

理論物理学には、内部ゲージ対称性も持つ超対称性(SUSY)の理論が数多く存在します。超対称ゲージ理論はこの概念を一般化したものです。

ゲージ理論はゲージ対称性を持つ場の理論です。大まかに言えば、対称性には大域的と局所的の 2 種類があります。大域的対称性は、多様体の各点に (ある意味で) 一様に適用される対称性です。局所的対称性は、位置に依存する対称性です。ゲージ対称性は局所的対称性の一例であり、その対称性はリー群(数学的には連続対称性を記述する) によって記述され、ゲージ理論の文脈では理論の ゲージ群と呼ばれます。

量子色力学と量子電気力学はゲージ理論の有名な例です。

素粒子物理学では、ボソンとフェルミオンという2種類の粒子統計を持つ粒子が存在します。ボソンは整数のスピン値を持ち、任意の数の同一のボソンが空間内の1点を占めることができるという特徴があります。そのため、それらは力と同一視されます。フェルミオンは半整数のスピン値を持ち、パウリの排他原理により、同一のフェルミオンは時空内で単一の位置を占めることはできません。ボソン場とフェルミオン場は物質として解釈されます。したがって、超対称性は、放射（ボソンを介した力）と物質の統一の有力な候補であると考えられています。

この統一は、スーパーチャージまたは超対称性生成器として知られる演算子 （通常は複数の演算子）によって与えられ、概略的に次のように機能します。 ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q|{\text{ボソン}}\rangle =|{\text{フェルミオン}}\rangle }$
${\displaystyle Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle }$

たとえば、超対称性生成器は、光子を引数として取り、それをフォトンに変換したり、その逆を行ったりすることができます。これは、(パラメータ) 空間での変換によって行われます。この超空間は、次数付きベクトル空間であり、 はボゾンヒルベルト空間、はフェルミオン ヒルベルト空間です。 ${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{0}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{1}}$

ゲージ理論の超対称バージョンが生まれた動機は、ゲージ不変性が超対称性と一致するという事実である。最初の例は、ブルーノ・ズミーノとセルジオ・フェラーラによって発見され、 1974年にアブドゥス・サラムとジェームズ・ストラスディーによって独立に発見された。

半整数スピンフェルミオンと整数スピンボソンは両方ともゲージ粒子になることができます。ゲージベクトル場とそのスピノル超パートナーは、両方とも内部対称群の同じ表現内に存在するようにすることができます。

ゲージ変換 があるとします。ここで はベクトル場、 はゲージ関数です。 SUSY ゲージ理論の構築における主な困難は、上記の変換を SUSY 変換と一致するように拡張することです。 ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A}$${\displaystyle V_{\mu }}$${\displaystyle A}$

ウェス・ズミノゲージ（超対称ゲージ固定の処方箋）は、この問題の有効な解決策を提供します。このような適切なゲージが得られれば、SUSYゲージ理論のダイナミクスは次のように機能します。スーパーゲージ変換（これらの変換は、ゲージ理論の超対称バージョンを開発するために必要な重要なツールです）に対して不変なラグランジアンを求めます。次に、ベレジン積分規則を使用してラグランジアンを積分し、作用を得ることができます。これはさらに運動方程式につながり、理論のダイナミクスの完全な分析を提供できます。

4 次元では、最小のN = 1超対称性は、超空間を使用して記述できます。この超空間には、2 成分スピノルとその共役として変換される4 つの余分なフェルミオン座標が含まれます。 ${\displaystyle \theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}}$

すべての超場、すなわち超空間のすべての座標に依存する場は、新しいフェルミオン座標に関して展開できます。特別な種類の超場、いわゆるカイラル超場が存在します。これは、変数θのみに依存し、その共役 (より正確には) には依存しません。ただし、ベクトル超場はすべての座標に依存します。これは、ゲージ場とその超パートナー、つまりディラック方程式 に従うワイルフェルミオンを記述します。 ${\displaystyle {\overline {D}}f=0}$

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)}$

V はベクトル超場（プレポテンシャル）であり、実数（V = V）です。右側の場は成分場です。

ゲージ変換は次のように作用する。

${\displaystyle V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}}$

ここでΛは任意のカイラル超場である。

カイラル超場が

${\displaystyle W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V}$

はゲージ不変です。その複素共役もゲージ不変です。 ${\displaystyle {\overline {W}}_{\dot {\alpha }}}$

よく使われる非超対称共変ゲージは、ウェス・ズミノゲージです。ここで、C、χ、M、N はすべてゼロに設定されます。残差ゲージ対称性は、従来のボソン型のゲージ変換です。

qの電荷を持つカイラル超場Xは次のように変換される。

${\displaystyle X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X}$

したがって、X e ^{− qV} X はゲージ不変です。ここで、e ^{− qV は}、 Λのみで変換されるフィールドと、 Λのみで変換されるフィールドを「橋渡しする」ため、ブリッジと呼ばれます。

より一般的には、超対称化したい実ゲージ群Gがある場合、まずそれをG ^c ⋅ e ^{− qV}に複素化し、次に複素ゲージ変換の補償子として機能して、実質的に複素ゲージ変換を吸収し、実部のみを残します。これが Wess-Zumino ゲージで行われていることです。

すべてを従来のヤン・ミルズゲージ理論に似せるために言い換えてみましょう。1-スーパーフォームゲージ接続Aを持つ完全な超空間に作用するU(1)ゲージ対称性があります。接空間の解析的基底では、共変微分は次のように与えられます。カイラル制約を持つカイラル超場の積分可能性条件 ${\displaystyle D_{M}=d_{M}+iqA_{M}}$

${\displaystyle {\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

私たちに残す

${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.}$

反カイラル超場に対する同様の制約により、 F _αβ = 0が残ります。これは、ゲージ固定またはA _α = 0 のいずれかが可能で、両方を同時に行うことはできないことを意味します。2 つの異なるゲージ固定方式をそれぞれ I および II と呼びます。ゲージ I では、ゲージ II では、d _α X = 0です。ここでの秘訣は、2 つの異なるゲージを同時に使用することです。カイラル超場にはゲージ I、反カイラル超場にはゲージ II を使用します。2つの異なるゲージ間を橋渡しするには、ゲージ変換が必要です。これを (慣例により) e ^{− V}と呼びます。すべての場に対して 1 つのゲージを使用している場合、X X はゲージ不変です。ただし、ゲージ I をゲージ II に変換して、 X を( e ^{− V} ) ^q Xに変換する必要があります。したがって、ゲージ不変量はX e ^{− qV} Xです。 ${\displaystyle A_{\dot {\alpha }}=0}$${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

ゲージIでは、残差ゲージe ^Λが依然として存在し、ゲージIIでは、残差ゲージe ^Λがd _α Λ = 0を満たす。残差ゲージの下では、ブリッジは次のように変換される。 ${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0}$

${\displaystyle e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.}$

追加の制約がなければ、ブリッジe ^{− V は}ゲージ場に関するすべての情報を提供しません。ただし、追加の制約 がある場合、ブリッジ モジュロ ゲージ変換と互換性のある唯一のゲージ場が存在します。これで、ブリッジはゲージ場とまったく同じ情報コンテンツを提供します。 ${\displaystyle F_{{\dot {\alpha }}\beta }}$

より高い超対称性（そしておそらくより高い次元）を持つ理論では、ベクトル超場は通常、ゲージ場とワイルフェルミオンだけでなく、少なくとも1つの複素スカラー場も記述します。

• N = 1 スーパーヤンミルズ
• N = 2 スーパーヤンミルズ
• N = 4 スーパーヤンミルズ

• スーパーQCD
• MSSM (最小超対称標準モデル)
• NMSSM (次最小超対称標準モデル)

• 超潜在能力
• Dターム
• Fターム
• 現在の超場
• 超対称量子力学

• スティーブン・P・マーティン。超対称性の入門、arXiv :hep-ph/9709356。
• プラカシュ、ニルマラ。理論物理学の数学的視点：ブラックホールから超弦理論への旅、ワールドサイエンティフィック（2003年）。
• Kulshreshtha, DS; Mueller-Kirsten, HJW (1991). 「制約条件付きシステムの量子化: 超場に適用された Faddeev-Jackiw 法と Dirac 法の比較」. Physical Review D . Phys. Rev. D43, 3376-3383. 43 (10): 3376–3383. Bibcode :1991PhRvD..43.3376K. doi :10.1103/PhysRevD.43.3376.