複雑化

数学において、実数体上のベクトル空間V （「実ベクトル空間」）を複素化することで、複素数体上のベクトル空間V ^Cが得られます。これは、ベクトルを実数でスケーリングする概念を、複素数でスケーリング（「乗算」）する概念に形式的に拡張することによって得られるものです。V（実数体上の空間）の任意の基底は、複素数体上のV ^Cの基底としても使用できます。

させて${\displaystyle V}$実ベクトル空間である。Vの複素化は、テンソル積を取ることによって定義される。${\displaystyle V}$複素数（実数上の2次元ベクトル空間と考える）を用いると、次のようになる。 $${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$$ 添え字、${\displaystyle \mathbb {R} }$、テンソル積の は、テンソル積が実数で取られることを示しています (なぜなら${\displaystyle V}$は実ベクトル空間であり、いずれにせよこれが唯一妥当な選択肢なので、添え字は安全に省略できます。現状では、${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$これは実ベクトル空間にすぎない。しかし、${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$複素乗算を以下のように定義することにより、複素ベクトル空間に変換する。 $${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{すべての}}v\in V{\mbox{および}}\alpha ,\beta \in \mathbb {C}について} .$$より一般的に言えば、複素化はスカラーの拡張 の一例であり、ここではスカラーを実数から複素数に拡張するものであり、任意の体拡張、あるいは環の​​任意の射に対して行うことができる。

もし${\displaystyle V}$有限次元を持つ${\displaystyle n}$以上${\displaystyle \mathbb {R} }$すると、${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$寸法がある${\displaystyle 2n}$実ベクトル空間および次元として${\displaystyle n}$複素ベクトル空間として。

形式的には、複素化は実ベクトル空間の圏から複素ベクトル空間の圏への関手Vect _R → Vect _Cである。これは、複素構造を忘れる忘却関手Vect _C → Vect _Rの随伴関手、具体的には左随伴関手である。

複素ベクトル空間の複雑な構造を忘れてしまう${\displaystyle V}$と呼ばれる脱複雑化（または時には「（実体化）複素ベクトル空間の非複素化${\displaystyle V}$基礎${\displaystyle e_{\mu }}$スカラーの複素乗算の可能性を排除し、実ベクトル空間を得る。${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$基底を持つ2倍の次元${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}.}$^{[ 1 ]}

テンソル積の性質上、V ^Cのすべてのベクトルv は一意に次の形式で表すことができます。

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

ここで、v ₁とv _2はVのベクトルです。テンソル積の記号を省略して、単に次のように書くのが一般的です。

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

複素数a + ibによる乗算は、通常の規則に従って行われます。

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

すると、 VC^はVの2つのコピーの直接和とみなすことができる。

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

上記の複素数による乗算の規則に従って。

VからV ^Cへの自然な埋め込みは次のように与えられる。

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

ベクトル空間V は、 V ^Cの実部分空間とみなすことができます。Vが体R上の基底{ e _i }を持つ場合、 V ^Cの対応する基底は体C上の{ e _i ⊗ 1 }で与えられます。したがって、 V ^Cの複素次元はVの実次元に等しくなります。

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

あるいは、テンソル積を用いる代わりに、この直和を複素化の定義として用いることもできる。

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

どこ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$演算子Jによって定義される線形複素構造が与えられる。${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$ここで、Jは「 iによる乗算」の演算を表します。行列形式では、Jは次のように表されます。

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

これにより同一の空間が得られます。線形複素構造を持つ実ベクトル空間は複素ベクトル空間と同一のデータですが、空間の構築方法は異なります。したがって、${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$次のように書くことができます${\displaystyle V\oplus JV}$または${\displaystyle V\oplus iV,}$Vを最初の直接加算項と同一視する。この方法はより具体的で、技術的に複雑なテンソル積の使用を避けることができるという利点があるが、場当たり的な方法である。

• 実座標空間R ⁿの複素化は複素座標空間C ⁿである。
• 同様に、V が実数成分を持つm × n行列から構成される場合、 VC^は複素数成分を持つm × n行列から構成される。

RからCへ移行することによる複素化のプロセスは、レナード・ディクソンを含む 20 世紀の数学者によって抽象化されました。まず、恒等写像x * = x をR上の自明な対合として用います。次に、Rの 2 つのコピーを使用して、複素共役を対合z * = ( a , − b )として導入してz = ( a , b )を形成します。2倍化された集合の2 つの要素wとzは、

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

最後に、2倍された集合にはノルムN ( z ) = z* zが与えられます。恒等対合でRから始めると、2倍された集合はノルムa ² + b ^2を持つCになります。Cを2 倍し、共役 ( a , b )* = ( a *, – b ) を使用すると、構成により四元数が得られます。さらに 2 倍すると、八元数、別名ケイリー数が得られます。1919 年にディクソンが代数構造の解明に貢献したのは、まさにこの時点でした。

このプロセスは、Cと自明な対合z * = zから開始することもできます。生成されるノルムは、 R を2 倍にすることによってCを生成する場合とは異なり、単にz ²です。このC を2 倍にすると、双複素数が生成され、それを 2 倍にすると双四元数が生成され、さらに 2 倍にすると双八元数が生成されます。基底代数が結合法則を満たす場合、このケイリー・ディクソン構成によって生成される代数は、次の性質を持つことが示せるため、合成代数と呼ばれます。

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

複素化されたベクトル空間V ^{C は}、通常の複素ベクトル空間よりも多くの構造を持っています。それは、標準的な複素共役写像を備えています。

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

定義される

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

写像χは、 V ^Cからそれ自身への共役線形写像とみなすか、 V ^Cからその複素共役への複素線形同型写像とみなすことができる。${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$。

逆に、複素共役χを持つ複素ベクトル空間Wが与えられた場合、Wは複素ベクトル空間として、実部分空間の複素化VCと同型である^。

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

言い換えれば、複素共役を持つすべての複素ベクトル空間は、実ベクトル空間の複素化である。

例えば、標準的な複素共役でW = C ^nの場合

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

不変部分空間 Vは実部分空間R ^{n に}他ならない。

2 つの実ベクトル空間間の実線形変換f  : V → Wが与えられた場合 、自然な複素線形変換が存在する。

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

によって与えられた

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

地図${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$これはfの複素化と呼ばれる。線形変換の複素化は以下の性質を満たす。

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

圏論の言葉で言えば、複素化とは、実ベクトル空間の圏から複素ベクトル空間の圏への（加法的）関手を定義するものである。

写像f ^Cは共役と可換であるため、 V ^Cの実部分空間をW ^Cの実部分空間に写像します(写像fを介して)。さらに、複素線形写像g  : V ^C → W ^Cは、実線形写像の複素化であるのは、それが共役と可換である場合に限ります。

例として、m × n行列として考えられるR ⁿからR ^mへの線形変換を考えてみましょう。この変換の複素化は、まったく同じ行列ですが、今度はC ⁿからC ^mへの線形写像として考えられます。

実ベクトル空間Vの双対は、 VからRへのすべての実線形写像の空間V *です。V *の複素化は、 VからCへのすべての実線形写像の空間( Hom _R ( V , C )と表記) として自然に考えることができます。つまり、 $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$

同型写像は次のように与えられる。 $${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$ ここで、φ ₁とφ _2はV *の要素である。複素共役は通常の演算によって与えられる。 $${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$

実線形写像φ  : V → Cが与えられたとき、線形性によって拡張して複素線形写像φ  : V ^C → Cを得ることができます。つまり、 $${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$この拡張により、 Hom _R ( V , C )からHom _C ( V ^C , C )への 同型写像が得られます。後者はV ^Cの複素双対空間に他ならないので、自然な同型写像が得られます。 $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$

より一般的には、実ベクトル空間VとWが与えられたとき、自然な同型が存在する。 $${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$$

複素化は、テンソル積、外積、対称積の演算とも可換である。例えば、VとWが実ベクトル空間である場合、自然な同型が存在する。 $${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.}$$ 左側のテンソル積は実数に対して、右側のテンソル積は複素数に対して取られることに注意してください。このパターンは一般にも当てはまります。例えば、次のようになります。 $${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$ いずれの場合も、同型写像は「明白な」ものである。

• スカラーの拡張– 一般的なプロセス
• 線状複素構造
• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式

• ハルモス、ポール(1974) [1958]。有限次元ベクトル空間。スプリンガー。 p  41 および §77 複雑化、pp  150–153。ISBN 0-387-90093-4。
• ショー、ロナルド（1982）。線形代数と群表現。第 1巻：線形代数と群表現入門。アカデミック・プレス。196ページ。ISBN  0-12-639201-3。
• ローマン、スティーブン（2005）。『高度線形代数』。大学院数学テキストシリーズ。第 135巻（第2 版）。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-24766-1。