ベレジン積分

数理物理学において、フェリックス・ベレジンにちなんで名付けられたベレジン積分（ヘルマン・グラスマンにちなんでグラスマン積分とも呼ばれる）は、グラスマン変数（外積分の要素）の関数の積分を定義する方法である。これはルベーグの意味での積分ではない。ベレジン積分はルベーグ積分に類似した特性を持ち、物理学における経路積分を拡張してフェルミオンの履歴の和として使用されるので、「積分」という単語が使用される。

を複素数体上の反可換元における多項式の外積代数とします。(生成元の順序は固定されており、外積代数の方向を定義します。) ${\displaystyle \Lambda^{n}}$${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$

唯一のグラスマン変数に対するベレジン積分は線形関数として定義される。 ${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }$

ここで定義する

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

となることによって ：

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

これらの性質は積分を一意に定義し、

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

グラスマン変数はゼロに二乗されるため、線形次数を超える非ゼロ項を持つことはできない ため、は の最も一般的な関数であることに注意してください。${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle f(\theta )}$

上のベレジン積分は、次の特性を持つ 唯一の線形関数として定義されます。${\displaystyle \Lambda^{n}}$${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta }$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,​​\ i=1,\dots ,n}$

任意の に対して、 は左偏微分または右偏微分を意味します。これらの特性により、積分が一意に定義されます。 ${\displaystyle f\in \Lambda ^{n},}$${\displaystyle \partial /\partial \theta _{i}}$

文献には異なる慣例が存在することに注意してほしい。一部の著者は代わりに^{[1]と定義している。}

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}$

式

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\ Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

はフビニの法則を表します。右辺では、単項式の内部積分はに設定され、 の積分はゼロになります。 に関する積分も同様の方法で計算され、以下同様に続きます。 ${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$${\displaystyle g(\theta '),}$${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$${\displaystyle f=g(\theta ')}$${\displaystyle \theta _{2}}$

をいくつかの反対称変数の奇多項式とする。ヤコビ行列は ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$

${\displaystyle D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},}$

ここで は右微分（ ）を指す。座標変換の式は次のようになる。 ${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$${\displaystyle \partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}}$

${\displaystyle \int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\,\mathrm {d} \xi 。}$

ここで、実数可換変数と反可換変数の関数の代数（次元 の自由超代数と呼ばれる）について考えてみましょう。直感的には、関数は m 個の偶数（ボソン、可換）変数と n 個の奇数（フェルミオン、反可換）変数の関数です。より正式には、要素は、代数 の値を持つ開集合で変化する引数の関数です。この関数が連続で、コンパクト集合の補集合で消えると仮定します。ベレジン積分は、数 ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle x=x_{1},\ldots ,x_{m}}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$${\displaystyle (m|n)}$${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \Lambda ^{n}.}$${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}.}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\,\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta .}$

座標変換は次のように与えられます。ここで、は偶数、は偶数変数に依存する奇数多項式です。この変換のヤコビ行列はブロック形式です。 ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \theta _{j}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle y.}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

ここで、各偶導関数は代数 のすべての要素と可換です。奇導関数は偶数要素と可換で、奇数要素と反可換です。対角ブロックとの要素は偶関数であり、非対角ブロックの要素は奇関数です。ここでも は右導関数を意味します。 ${\displaystyle \partial /\partial y_{j}}$${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle A=\partial x/\partial y}$${\displaystyle D=\partial \theta /\partial \xi }$${\displaystyle B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y}$${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$

関数が逆関数である場合${\displaystyle D}$${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n},}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&B\\0&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&0\\D^{-1}C&I\end{pmatrix}}}$

したがって、行列のベレジニアン（または超行列式）は偶関数で ある。${\displaystyle \mathrm {J} }$

${\displaystyle \operatorname {Ber} \mathrm {J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)(\det D)^{-1}}$

実関数が の開集合の滑らかな可逆写像を定義し、写像の線型部分が各 に対して可逆であると仮定する。ベレジン積分の一般的な変換法則は、 ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$${\displaystyle F:Y\to X}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$${\displaystyle y\in Y.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \operatorname {Ber} \mathrm {J} \,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y\\[6pt]={}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y,\end{aligned}}}$

ここで) は写像の向きの符号である。重ね合わせは、関数がに依存しない場合、明白な方法で定義される。一般的な場合、の偶数冪零元であり、と書く。 ${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$${\displaystyle \xi .}$${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i},}$${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,}$

ここでテイラー級数は有限です。

量子場理論の経路積分の定式化では、ガウス積分の次の式がよく使用されます。

• ${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$

複雑な行列になります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

は複素歪対称行列であり、はのパフィアンであり、 を満たします。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {Pf} \,M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mathrm {Pf} \,M)^{2}=\det M}$

上記の式では 記法が使用されています。これらの式から、他の有用な式が導かれます（^[2]の付録Aを参照）。 ${\displaystyle d\theta =d\theta _{1}\cdots \,d\theta _{n}}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1}\dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}$

は可逆行列です。これらの積分はすべて分割関数の形になっていることに注意してください。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$

ベレジン積分は、おそらく1956年にデイビッド・ジョン・キャンドリンによって初めて発表されました。 ^[3]その後、1966年にフェリックス・ベレジンによって独立に発見されました。 ^[4]

残念ながら、キャンドリンの論文は注目を集めることができず、忘れ去られてしまった。ベレジンの研究は広く知られるようになり、ほぼ普遍的に引用され、^{[脚注 1]}関数積分によるフェルミオンの量子場理論を扱うために不可欠なツールとなった。

これらの開発には、物理​​学者のカラトニコフ^[9]（ただし彼の論文には間違いがある）、マシューズとサラム^[10]、マーティン^{[11]など他の著者も貢献した。}

• 超多様体
• ベレジニアン

• セオドア・ボロノフ：超多様体上の幾何積分理論、ハーウッド・アカデミック出版社、ISBN 3-7186-5199-8 
• ベレジン、フェリックス・アレクサンドロヴィッチ：超分析入門、Springer Netherlands、ISBN 978-90-277-1668-2