超対称性代数の表現
理論物理学 において 、 超多重項は 、 拡張された超対称性を持つ可能性のある 超対称性代数 の 表現 です 。
すると、 超体 とは、そのような表現で評価される 超空間 上の体です。素朴に、または平坦な超空間を考えるとき、超体は単に超空間上の関数として見ることができます。正式には、それは 関連する超多重束 の セクション です。
現象的には、超場は粒子を 記述するために使用されます 。超対称性場理論の特徴は、粒子が 超パートナー と呼ばれるペアを形成し、 ボソンが フェルミオン とペアになることです 。
これらの超対称場は、場が 演算子に昇格される超対称 量子場理論 を構築するために使用されます 。
歴史 超体は1974年の論文で アブドゥス・サラム とJAストラスディによって導入されました。 [1] 超体上の演算と部分的な分類は、数か月後に セルジオ・フェラーラ 、 ジュリアス・ウェス 、 ブルーノ・ズミーノ によって発表されました。 [2]
命名と分類 最も一般的に使用される超多重項は、ベクトル多重項、カイラル多重項（ たとえば超対称性の場合）、超多重項（ たとえば超対称性の場合）、テンソル多重項、および重力多重項です。ベクトル多重項の最高成分はゲージボソン 、 カイラル多重項または超多重項の最高成分は スピノル 、重力多重項の最高成分は重力子です 。これらの名前は、 ローレンツ群 の表現としての場の構成が変わっても、 次元削減 に対して不変であるように定義されています 。
d = 4 、
いいえ
= 1
{\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}
d = 4 、
いいえ
= 2
{\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}
異なる多重項に対するこれらの名前の使用法は、文献によって異なる場合があります。カイラル多重項 (その最高成分がスピノル) は スカラー多重項 と呼ばれることもあり、 SUSY では、ベクトル多重項 (その最高成分がベクトル) はカイラル多重項と呼ばれることもあります。
d = 4 、
いいえ
= 2
{\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}
d = 4、N = 1 超対称性における超場 このセクションの規則は、Figueroa-O'Farrill (2001) の注記に従います。
超対称性における 一般的な複素超場は 次のように展開できる。
Φ （ x 、 θ 、
θ ¯
）
{\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}
d = 4 、
いいえ
= 1
{\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}
Φ （ x 、 θ 、
θ ¯
） = ϕ （ x ） + θ χ （ x ） +
θ ¯
χ ¯
′
（ x ） +
θ ¯
σ
μ
θ
五
μ
（ x ） +
θ
2
ふ （ x ） +
θ ¯
2
ふ ¯
′
（ x ） +
θ ¯
2
θ ξ （ x ） +
θ
2
θ ¯
ξ ¯
′
（ x ） +
θ
2
θ ¯
2
だ （ x ）
{\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)}
、 ここで、 は異なる複素体です。これは 既約な 超多重項ではないので、既約な表現を分離するには異なる制約が必要です。
ϕ 、 χ 、
χ ¯
′
、
五
μ
、 ふ 、
ふ ¯
′
、 ξ 、
ξ ¯
′
、 だ
{\displaystyle \phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D }
カイラル超場 （反）カイラル超場は超対称性の超多重体です 。
d = 4 、
いいえ
= 1
{\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}
4 次元では、極小の超対称性は 超空間 の概念を使用して記述できます 。超空間には、通常の時空座標 、、 および 4 つの追加フェルミオン座標が含まれ、 は2 成分 (ワイル) スピノル とその共役として変換されます 。
いいえ
= 1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
x
μ
{\displaystyle x^{\mu}}
μ = 0 、 … 、 3
{\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}
θ
α
、
θ ¯
α ˙
{\displaystyle \theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}}
α 、
α ˙
= 1 、 2
{\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}
超対称性 において 、 カイラル超場は カイラル超空間 上の関数で ある。（完全な）超空間からカイラル超空間への射影が存在する。したがって、カイラル超空間上の関数は完全な超空間に 引き戻す ことができる。このような関数は 共変制約を満たす。 ここで、 は 共変微分であり、指数表記で次のように与えられる。
d = 4 、
いいえ
= 1
{\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}
Φ （ x 、 θ 、
θ ¯
）
{\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}
だ ¯
Φ = 0
{\displaystyle {\overline {D}}\Phi =0}
だ ¯
{\displaystyle {\bar {D}}}
だ ¯
α ˙
= −
∂ ¯
α ˙
− 私
θ
α
σ
α
α ˙
μ
∂
μ
。
{\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _ {\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.}
カイラル超場は 次のように展開できる。
Φ （ x 、 θ 、
θ ¯
）
{\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}
Φ （ ええ 、 θ ） = ϕ （ ええ ） +
2
θ ψ （ ええ ） +
θ
2
ふ （ ええ ） 、
{\displaystyle \Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),}
ここで である。超場は を通じてのみ に依存するという意味で 「共役スピン座標」とは独立である 。次のことが確認できる。
ええ
μ
=
x
μ
+ 私 θ
σ
μ
θ ¯
{\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}}
θ ¯
{\displaystyle {\bar {\theta }}}
θ ¯
{\displaystyle {\bar {\theta }}}
ええ
μ
{\displaystyle y^{\mu}}
だ ¯
α ˙
ええ
μ
= 0.
{\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.}
展開は、複素スカラー場、ワイルスピノルである と解釈されます。 慣例により 命名された 補助的な複素スカラー場もあります。これは、 いくつかの理論で重要な役割を果たす
F 項です。
ϕ
{\displaystyle \phi}
ψ
{\displaystyle \psi}
ふ
{\displaystyle F}
ふ
{\displaystyle F}
次に、次の式を代入することで、 フィールドを元の座標で表現できます 。
（ x 、 θ 、
θ ¯
）
{\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}
ええ
{\displaystyle y}
Φ （ x 、 θ 、
θ ¯
） = ϕ （ x ） +
2
θ ψ （ x ） +
θ
2
ふ （ x ） + 私 θ
σ
μ
θ ¯
∂
μ
ϕ （ x ） −
私
2
θ
2
∂
μ
ψ （ x ）
σ
μ
θ ¯
−
1 4
θ
2
θ ¯
2
◻ ϕ （ x ） 。
{\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).}
反カイラル超場 同様に、カイラル超空間 の複素共役である反カイラル超空間や、 反カイラル超場 も存在します 。
反カイラル超場 は 、
Φ
†
{\displaystyle \Phi ^{\ダガー }}
だ
Φ
†
= 0 、
{\displaystyle D\Phi ^{\dagger }=0,}
だ
α
=
∂
α
+ 私
σ
α
α ˙
μ
θ ¯
α ˙
∂
μ
。
{\displaystyle D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }.}
反カイラル超場はカイラル超場の複素共役として構築できます。
カイラル超場からの作用 単一のカイラル超場から定義できる作用については、 Wess-Zuminoモデル を参照してください。
ベクトル超場 ベクトル超場は 超対称性の超多重体です。
いいえ
= 1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
ベクトル超場（実超場とも呼ばれる）は、 現実条件を満たす関数である 。このような場は、展開を許容する。
五 （ x 、 θ 、
θ ¯
）
{\displaystyle V(x,\theta ,{\bar {\theta }})}
五 =
五
†
{\displaystyle V=V^{\ダガー }}
五 = Ｃ + 私 θ χ − 私
θ ¯
χ ¯
+
私 2
θ
2
（ ま + 私 いいえ ） −
私 2
θ
2
¯
（ ま − 私 いいえ ） − θ
σ
μ
θ ¯
あ
μ
+ 私
θ
2
θ ¯
（
λ ¯
+
私 2
σ ¯
μ
∂
μ
χ
）
− 私
θ ¯
2
θ
（
λ +
私 2
σ
μ
∂
μ
χ ¯
）
+
1 2
θ
2
θ ¯
2
（
だ +
1 2
◻ Ｃ
）
。
{\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).}
構成フィールドは
2つの実スカラー場 と
C
{\displaystyle C}
D
{\displaystyle D}
複素スカラー場
M
+
i
N
{\displaystyle M+iN}
2つのワイルスピノル場 と
χ
α
{\displaystyle \chi _{\alpha }}
λ
α
{\displaystyle \lambda ^{\alpha }}
実ベクトル場（ ゲージ場 ）
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
これらの変換特性と用途については、 超対称ゲージ理論 でさらに議論されています。
ゲージ変換を使用すると、場 とを ゼロに設定できます。これは ウェス・ズミノゲージ として知られています。このゲージでは、展開ははるかに単純な形をとります。
C
,
χ
{\displaystyle C,\chi }
M
+
i
N
{\displaystyle M+iN}
V
WZ
=
θ
σ
μ
θ
¯
A
μ
+
θ
2
θ
¯
λ
¯
+
θ
¯
2
θ
λ
+
1
2
θ
2
θ
¯
2
D
.
{\displaystyle V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.}
は の スーパーパートナー であり 、 は 補助スカラー場です。これは慣例的に と呼ばれ 、 D 項 として知られています。
λ
{\displaystyle \lambda }
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
スカラー スカラーは超場の最高成分ではありません。超場にスカラーが現れるかどうかは、時空の次元に依存します。たとえば、10 次元の N=1 理論では、ベクトル多重項にはベクトルとマヨラナ ・ワイル スピノル のみが含まれますが、d 次元 トーラス での次元縮小は、d 個の実スカラーを含むベクトル多重項です。同様に、 11 次元の理論 では、有限個のフィールドを持つ超多重項は重力多重項のみであり、スカラーは含まれません。ただし、この場合も、d トーラスでの最大重力多重項への次元縮小にはスカラーが含まれます。
ハイパー多重項 超多重項 は 、拡張された 超対称性代数 、特に 4 次元の超対称性の物質多重項の表現の一種であり、 2 つの複素 スカラー A i 、ディラック スピノル ψ、およびさらに 2 つの 補助 複素スカラー F i を含みます。
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
「超多重項」という名前は、 Fayet (1976) が使用した N =2 超対称性を表す古い用語「超対称性」に由来しています。この用語は廃止されましたが、その表現の一部には「超多重項」という名前が今でも使用されています。
拡張された超対称性 (N > 1) この節では、拡張された超対称性において、一般的に使用される既約な超多重項をいくつか記録する。これらは 、超電荷 によって消滅する真空ベクトルが存在するという意味で、 最高重み表現 構成によって構築される 。既約表現の次元は である 。質量のない粒子を表す超多重項の場合、物理的根拠から、許容される最大値 は であるが、 繰り込み可能性 の場合 、許容される最大値 は である 。 [3]
d
=
4
{\displaystyle d=4}
Q
A
,
A
=
1
,
⋯
,
N
{\displaystyle Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}
2
N
{\displaystyle 2^{\mathcal {N}}}
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N}}=8}
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
2 = 2 です ベクトル多重項 または カイラル多重項には、 ゲージ場 、2 つの ワイル粒子 、およびスカラー ( ゲージ群 の 随伴表現 でも変換される)が含まれます。これらは、 ベクトル多重項 と カイラル多重項 の 1 組の 多重項にまとめることもできます。このような多重項を使用して、 ザイバーグ-ウィッテン理論を 簡潔に定義できます 。
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
Ψ
{\displaystyle \Psi }
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
λ
,
ψ
{\displaystyle \lambda ,\psi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
W
=
(
A
μ
,
λ
)
{\displaystyle W=(A_{\mu },\lambda )}
Φ
=
(
ϕ
,
ψ
)
{\displaystyle \Phi =(\phi ,\psi )}
超多重項 または スカラー 多重項は、 2 つのワイルフェルミオンと 2 つの複素スカラー、または 2 つの カイラル多重項で構成されます。
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
4 位 ベクトル 多重項には、 1 つのゲージ場、4 つのワイルフェルミオン、6 つのスカラー、および CPT 共役が含まれます。これは、 N = 4 超対称ヤン・ミルズ理論 に現れます。
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
参照
参考文献
^ Salam, Abdus; Strathdee, J. (1994年5月). スーパーゲージ変換. 第5巻. pp. 404–409. Bibcode :1994spas.book..404S. doi :10.1142/9789812795915_0047. ISBN 978-981-02-1662-7 . 2023年 4月3日 閲覧 。 ^ Ferrara, Sergio; Wess, Julius; Zumino, Bruno (1974). 「スーパーゲージ多重項と超場」. Phys. Lett. B. 51 ( 3): 239–241. Bibcode :1974PhLB...51..239F. doi :10.1016/0370-2693(74)90283-4 . 2023年 4月3日 閲覧 。 ^ クリッペンドルフ、スヴェン;ケベド、フェルナンド。オリバー、シュロテラー (2010 年 11 月 5 日)。 「超対称性と余剰次元に関するケンブリッジ講義」。 arXiv : 1011.1491 [hep-th]。
フェイエット、P. (1976)、「フェルミ-ボーズ超対称性」、 核物理学B 、 113 (1): 135–155、 Bibcode :1976NuPhB.113..135F、 doi :10.1016/0550-3213(76)90458-2、 MR 0416304 スティーブン・P・マーティン。 超対称性の入門 、arXiv:hep-ph/9709356。 立川裕司. 歩行者のためのN=2超対称ダイナミクス , arXiv:1312.2684. Figueroa-O'Farrill, JM (2001). 「Busstepp Lectures on Supersymmetry」. arXiv : hep-th/0109172 .
