多項式カオス

多項式カオス (PC) は、多項式カオス展開( PCE ) やウィーナーカオス展開とも呼ばれ、ランダム変数を他のランダム変数の多項式関数で表現する方法です。多項式は、これらのランダム変数の結合確率分布に対して直交するように選択されます。その名前にもかかわらず、PCE はカオス理論と直接関係がないことに注意してください。ここでの「カオス」という言葉は「ランダム」と理解する必要があります。^[1]

PCEは、1938年にノーバート・ウィーナーがエルミート多項式を使用してガウス確率変数を持つ確率過程をモデル化するために初めて導入しました。^[2] 1991年にR.ガネムとPDスパノスによって物理学と工学のコミュニティに導入され、 ^[3] 2002年にD.シウとGEカルニアダキスによって他の直交多項式族に一般化されました。^[4]一般化されたPCEの存在と収束の厳密な数学的証明は、2011年にOGエルンストと同僚によって与えられました。^[5]

PCEは、システムのパラメータにおける確率的不確実性を扱うことを可能にするため、工学や応用科学で広く使用されています。特に、PCEは不確実性定量化分析を容易にするための代替モデルとして使用されています。^{[6] [7] PCEは、}確率的有限要素解析^{[3]や、システムパラメータに確率的不確実性がある場合の}動的システムにおける不確実性の進化を決定するためにも広く使用されています。^[8]

多項式カオス展開 (PCE) は、有限分散のランダム変数 (つまり) を、このランダム ベクトルの分布に関して直交する多項式基底を使用して、次元ランダム ベクトルの関数として表す方法を提供します。プロトタイプの PCE は次のように記述できます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)<\infty }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle Y=\sum _{i\in \mathbb {N} }c_{i}\Psi _{i}(\mathbf {X} ).}$

この式では、は係数であり、 は多項式基底関数を表します。 の分布に応じて、異なる PCE タイプが区別されます。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle \Psi_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

ノーバート・ウィーナー^[2]が使用したオリジナルのPCE定式化は、がガウス分布に従うランダムベクトルである場合に限定されていました。1次元の場合（つまり、および）のみを考えると、ガウス分布に対して直交する多項式基底関数は、次のエルミート多項式の集合です。 のPCEは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle M=1}$${\displaystyle \mathbf {X} =X}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y=\sum _{i\in \mathbb {N} }c_{i}H_{i}(X)}$。

Xiu は、ブラウン大学でカルニアダキスの指導のもとで博士号を取得していたとき、いわゆるAskey スキームの直交多項式を使用して、 Cameron–Martin の結果をさまざまな連続分布と離散分布に一般化し、対応するヒルベルト関数空間での収束を実証しました。これは、一般化多項式カオス (gPC) フレームワークとしてよく知られています。gPC フレームワークは、確率流体力学、確率有限要素、固体力学、非線形推定、非線形固定小数点デジタルシステムにおける有限語長効果の評価、確率ロバスト制御などのアプリケーションに適用されています。多くのアプリケーションで、 gPC ベースの方法がモンテカルロベースの方法よりも計算的に優れていることが実証されています。 ^[9]ただし、この方法には顕著な制限があります。ランダム変数の数が多い場合、多項式カオスは計算コストが非常に高くなり、モンテカルロ法の方が一般的に実行可能です。^[10]${\displaystyle L_{2}}$

最近、カオス展開は任意多項式カオス展開（aPC）^[11]への一般化を受けました。これは、いわゆるPCのデータ駆動型一般化です。すべての多項式カオス展開手法と同様に、aPCは、直交多項式基底での展開によって、シミュレーションモデル出力のモデルパラメータへの依存性を近似します。aPCは、カオス展開手法を任意の確率尺度を持つ任意の分布に一般化します。任意の確率尺度は、離散、連続、または離散化された連続のいずれかであり、解析的に（確率密度/累積分布関数として）、数値的にヒストグラムとして、または生データセットとして指定できます。有限展開オーダーのaPCは、有限個のモーメントの存在のみを要求し、確率密度関数の完全な知識や存在さえも必要としません。これにより、限られた利用可能なデータでは十分にサポートされていないパラメトリック確率分布を割り当てる必要がなくなります。あるいは、モデラーは、統計的仮定の形状を技術的な制約から自由に選択できます。調査によると、aPC は指数関数的な収束率を示し、古典的な多項式カオス展開技術よりも速く収束します^{[引用が必要]}。これらの技術はまだ開発中ですが、数値流体力学 (CFD) モデルに与える影響は非常に印象的です。

多くの実際の状況では、不確実な入力パラメータに関する統計的知識は不完全で不正確である。幸いにも、有限次数展開を構築するには、確率測度に関する部分的な情報のみが必要であり、これは有限個の統計モーメントで単純に表すことができる。入力データに関する信頼できる統計情報が伴う場合にのみ、任意の次数の展開が正当化される。したがって、不完全な統計情報は高次多項式カオス展開の有用性を制限します。^[12]

多項式カオスは、過去の実現を条件とするガウス定常増分過程の非線形関数の予測に利用できる。 ^{[13]具体的には、このような予測は、各基底要素が測定可能であるか、または与えられたサンプルに関して独立であるという特性を持つ過程によって生成されるガウス}ヒルベルト空間の特別な基底に関して関数のカオス展開を導出することによって得られる。例えば、このアプローチは、分数ブラウン運動の簡単な予測式につながる。

非侵入的な設定では、与えられた基底関数セットの展開係数の推定は、代理モデルを構築することによってベイズ回帰問題として考えることができる。このアプローチの利点は、データの証拠（ベイズ推論の意味で）と展開係数の不確実性の解析的表現が利用できることである。^[14]そして、その証拠は、展開項の選択と系列の刈り込みの尺度として使用することができる（ベイズモデルの比較も参照）。展開係数の不確実性は、PCEの品質と信頼性、さらにはこの評価が実際の関心のある量に与える影響を評価するために使用することができる。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle \Psi_{i}}$${\displaystyle Y}$

は、展開係数を推定するために使用される入力と出力データのペアのセットです。は要素を持つデータ行列、 はベクトル形式で書かれた出力データのセット、 はベクトル形式の展開係数のセットです。 PCE の不確実性が未知の分散とスケール不変事前分布を持つガウス型であるという仮定の下で、展開係数の 期待値は${\displaystyle D=\{\mathbf {X} ^{(j)},Y^{(j)}\}}$${\displaystyle j=1,...,N_{s}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [M]_{ij}=\Psi _{i}(\mathbf {X} ^{(j)})}$${\displaystyle {\vec {Y}}=(Y^{(1)},...,Y^{(j)},...,Y^{(N_{s})})^{T }}$${\displaystyle N_{s}}$${\displaystyle {\vec {c}}=(c_{1},...,c_{i},...,c_{N_{p}})^{T}}$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle {\vec {c}}\rangle =(M^{T}\;M)^{-1}\;M^{T}\;{\vec {Y}}}$

とすると、係数の共分散は^[14]${\displaystyle H=(M^{T}M)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Cov}}(c_{m},c_{n})={\frac {\chi _{\text{min}}^{2}}{N_{s}-N_{p }-2}}H_{m,n}}$

ここで、は最小のミスフィットであり、 は単位行列である。係数の推定値の不確実性は で与えられる。したがって、展開係数の推定値の不確実性は、単純なベクトル行列の乗算で得られる。与えられた入力確率密度関数 に対して、関心のある量の2次モーメントは、単純に次のように示される^{[14] 。}${\displaystyle \chi _{\text{min}}^{2}={\vec {Y}}^{T}(\mathrm {I} -M\;H^{-1}M^{T})\;{\vec {Y}}}$${\displaystyle \mathrm {I} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{Var}}(c_{m})={\text{Cov}}(c_{m},c_{m})}$${\displaystyle p(\mathbf {X} )}$

${\displaystyle \langle Y^{2}\rangle =\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\langle c_{m}\rangle \langle c_{m'}\rangle p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{1}}+\アンダーブレース {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\ mathbf {X} )\;{\text{Cov}}(c_{m},c_{m'})\;p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{2}}}$

この式は、上記の行列とベクトルの乗算に、について周辺化を加えたものです。第1 項は、代理として使用される PCE に基づいて得られる、関心のある量 の主要な不確実性を決定します。第 2 項は、PCE の有限の不確実性に起因する、関心のある量における追加の推論的不確実性(多くの場合、偶然性と認識論性の混合型)を構成します。 ^[14] 質と量の両面で十分なデータが利用できる場合、 は無視できるほど小さくなり、 は小さくなることが示されます^。[14]これは、単に 2 つの項の比率を構築することで判断できます (例: ) 。この比率は、全体の不確実性における PCE 自身の不確実性の量を定量化し、 の範囲内にあります。たとえば、 の場合、不確実性の半分は PCE 自体に起因しているため、PCE を改善する措置を講じるか、より多くのデータを収集することができます。 の場合、PCE の不確実性は低く、PCE は信頼できるとみなすことができます。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\text{Var}}(c_{m})}$${\displaystyle {\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}\approx 0.5}$${\displaystyle {\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}\approx 1}$

ベイズ代理モデル選択では、特定の代理モデル、すなわち特定の展開係数と基底関数のセットの確率は、データの証拠によって与えられる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle \Psi_{i}}$${\displaystyle Z_{S}}$

${\displaystyle Z_{S}=\Omega _{N_{p}}\mid H\mid ^{-1/2}(\chi _{\text{min}}^{2})^{-{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {N_{p}}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}}{2}}{\big )}}}}$

ここで、はガンマ関数、は の行列式、はデータ数、は次元の立体角、 はPCE の項数です。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mid H\mid }$${\displaystyle H}$${\displaystyle N_{s}}$${\displaystyle \オメガ _{N_{p}}}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{p}}$

同様の知見はPCEベースの感度指数の計算にも応用でき、クリギングでも同様の結果が得られる。^[14]

• 直交多項式
• 代理モデル
• 分散ベースの感度分析
• カルフーネン・レーヴの定理
• ヒルベルト空間
• 適切な直交分解
• ベイズ回帰
• ベイズモデルの比較