2D回転

例えば、ベクトル（最初はデカルト座標系のx軸に沿っている） $${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$$ が角度θだけ回転すると、新しい座標は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},}$$

そしてベクトル（最初は座標系の y軸に沿って配置されていた）$${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$$ が角度θだけ回転すると、新しい座標は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

ベクトル回転の方向（ベクトルの方向と混同しないように）は、 θが正（例えば90°）の場合は反時計回り、 θが負（例えば-90°）の場合は時計回りです。${\displaystyle R(\theta )}$したがって、時計回りの回転行列は、( θを-θに置き換え、三角関数の対称性を使用して)として求められます。${\textstyle \sin(-\theta )=-\sin(\theta )}$そして${\textstyle \cos(-\theta )=\cos(\theta )}$） $${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

別の慣例では、（ベクトルを回転させる代わりに）軸を回転させる方法があり、^{[ 2 ]}上記の行列も軸を角度θだけ時計回りに回転させたものを表しています。

2次元の場合のみが、回転行列群が可換となる非自明なケースであり、回転を複数回実行する順序は関係ありません。例えば、3次元の場合、回転の順序が異なると結果が異なります（例えば、携帯電話をz軸に沿って回転させてからy軸に沿って回転させるのは、y軸に沿って回転させてからz軸に沿って回転させるのは同じではありません）。

標準的な右手系デカルト座標系（x軸が右、y軸が上）を使用する場合、回転R（θ）は反時計回りになります。左手系デカルト座標系（ x軸が右、y軸が下）を使用する場合、R（θ）は時計回りになります。このような非標準的な向きは数学ではめったに使用されませんが、2Dコンピュータグラフィックスでは一般的で、多くの場合、原点は左上隅にあり、y軸は画面またはページを下向きになっています。^{[ 3 ]}

回転行列によって生成される回転の方向を変える可能性のある、その他の代替的な慣例については、以下を参照してください。

行列 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\[3pt]0&1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$$ これらは、それぞれ0°、90°、180°、270°の角度で反時計回りに回転する2次元回転行列です。

形状の行列 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$$それらの集合は加算と乗算に関して閉じているので、 環を形成する。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =-I}$$ （どこ${\textstyle I}$は単位行列であり、写像は $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\mapsto x+iy}$$ （どこ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$対応する${\displaystyle i}$）は、この環から複素数体への環同型写像である。${\displaystyle \mathbb {C} }$（ちなみに、これはこの環が体であることを示している）。この同型写像の下では、回転行列は${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\\\end{bmatrix}}=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$は単位複素数の円、つまり法1の複素数に対応する。${\displaystyle \cos t^{2}+\sin t^{2}=1}$その結果、次の等式が成り立つ。$${\displaystyle e^{it}=\cos t+i\sin t=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}}$$ここで、最初の等式はオイラーの公式であり、行列は${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$1 に対応し、行列${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$虚数単位に対応する${\textstyle i}$。

特定する${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$と${\displaystyle \mathbb {C} }$線形同型を通して${\displaystyle (a,b)\mapsto a+ib}$、 どこ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$そして${\displaystyle a+ib\in \mathbb {C} }$行列の作用${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$ベクトル上${\displaystyle (a,b)}$複素数に対する乗算に対応する${\displaystyle a+ib}$x + iyによる。言い換えれば、ベクトルの回転は、（回転対象のベクトルに対応する）複素数に、（回転行列に対応する）絶対値が1の複素数を乗算することに相当する。