持続ベッティ数

パーシステントホモロジーにおいて、パーシステントベッティ数は、フィルタリングにおいて複数のスケールパラメータにわたって持続する位相的特徴の数を追跡するベッティ数のマルチスケール類似体である。古典的なベッティ数はホモロジー群のランクに等しいが、パーシステントベッティ数はパーシステントホモロジー群のランクである。パーシステントベッティ数の概念は、パーシステントホモロジーおよび位相的データ解析の分野における重要な論文の1つである2002年の論文「トポロジカル持続性と単純化」で、 Herbert Edelsbrunner 、David Letscher、およびAfra Zomorodianによって導入された。^{[1] [2]}パーシステントベッティ数の応用は、データ分析、^[3]機械学習、^{[4] [5] [6]}および物理学を含むさまざまな分野に見られる。^{[7] [8] [9]}${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle n^{th}}$

を単体複体とし、を単調関数、つまり非減少関数とします。単調性を要求することで、サブレベル セットがすべての に対して のサブ複体になることが保証されます。パラメータを変化させて、これらのサブ複体を何らかの自然数に対してネストされたシーケンスに配置できます。このシーケンスは、複体 上のフィルタリングを定義します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$

永続ホモロジーは、フィルタリング全体にわたる位相的特徴の発展に関係しています。そのために、フィルタリング内のすべての複合体のホモロジー群を取ることで、フィルタリング内の包含写像によって誘導される準同型によって接続されたホモロジー群のシーケンスを取得します。体にホモロジーを適用すると、一般に永続モジュールと呼ばれるベクトル空間と線型写像のシーケンスが得られます。 ${\displaystyle p^{th}}$${\displaystyle 0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)}$

個々のインデックスにおける静的なトポロジ情報ではなく、相同的特徴の進化を追跡するには、フィルタリングで存続する、つまり複数のスケール パラメーターにわたって非自明なままである非自明な相同性クラスの数のみをカウントする必要があります。

各 に対して、誘導準同型 を表すものとします。すると、永続ホモロジー群は各誘導写像の像として定義されます。つまり、すべての に対して となります。 ${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle f_{p}^{i,j}}$${\displaystyle H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})}$${\displaystyle p^{th}}$${\displaystyle H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}}$${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}$

古典的なベッティ数と並行して、永続ベッティ数は定義によって与えられる永続ホモロジー群の階数とまったく同じである。^[10]${\displaystyle p^{th}}$${\displaystyle p^{th}}$${\displaystyle \beta _{p}^{i,j}:=\operatorname {rank} H_{p}^{i,j}}$