ボルツマン定数

ボルツマン定数
この定数の名の由来となったルートヴィヒ・ボルツマン
シンボル：	kB、k​
ジュール/ケルビンの値	1.380 649 × 10 −23  J⋅K −1 [1]
ケルビンあたりの電子ボルトの値	8.617 333 262 × 10 −5  eV・K −1 [1]

ボルツマン定数（k _Bまたはk）は、気体中の粒子の平均相対熱エネルギーと気体の熱力学的温度を関連付ける比例係数です。 ^{[2]これは、}ケルビン（K）と気体定数の定義、プランクの黒体放射の法則、ボルツマンのエントロピー式に登場し、抵抗器の熱雑音の計算に使用されます。ボルツマン定数は、エントロピーや熱容量と同様に、エネルギーを温度で割った値です。オーストリアの科学者ルートヴィヒ・ボルツマンにちなんで名付けられました。

2019年のSI改訂版では、ボルツマン定数は、正確な定義が与えられた7つの「定義定数」の1つです。これらは、7つのSI基本単位を定義するためにさまざまな組み合わせで使用されます。ボルツマン定数は、正確に次のように定義されます。1.380 649 × 10 ⁻²³ ジュール/ケルビン^[1]

マクロ的には、理想気体の法則は、理想気体の場合、圧力 pと体積 Vの積は、物質量 nと絶対温度 Tの積に比例することを述べています。 ここで、Rはモル気体定数（$${\displaystyle pV=nRT,}$$8.314 462 618 153 24  J⋅K ⁻¹ ⋅ mol ⁻¹）。^[4]ボルツマン定数を分子あたりの気体定数として導入すると^[5] k = R / N _A（N _Aはアボガドロ定数）は理想気体の法則を別の形に変換します。 ここでNは気体分子の数です。 $${\displaystyle pV=NkT,}$$

絶対温度Tの熱力学系が与えられた場合、系内の各微視的自由度が運ぶ平均熱エネルギーは⁠ 1/2⁠  k T（つまり、約2.07 × 10 ⁻²¹  J、または0.013  eV（室温で）。これは一般に、多数の粒子を持ち、量子効果が無視できる古典系にのみ当てはまります。

古典的な 統計力学では、この平均は均質な理想気体に対して正確に当てはまると予測されています。単原子理想気体（6つの希ガス）は、3つの空間方向に対応する3つの自由度を原子ごとに持っています。エネルギーの等分配によると、これは熱エネルギーがあることを意味します⁠3/2⁠原子あたり k T です。これは実験データと非常によく一致しています。熱エネルギーは原子の二乗平均平方根速度を計算するのに使用できますが、これは原子質量の平方根に反比例することがわかります。室温での二乗平均平方根速度はこれを正確に反映しており、ヘリウムの場合は1370 m/s、キセノンの場合は240m/s。

運動論によれば、理想気体の 平均圧力pは次のように表される。$${\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}$$

理想気体の法則と組み合わせると 、平均並進運動エネルギーは $${\displaystyle pV=NkT}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.}$$

並進運動速度ベクトルvには3つの自由度（各次元に1つずつ）があることを考慮すると、自由度あたりの平均エネルギーはその3分の1に等しくなります。つまり、⁠1/2⁠  k T .

分子ガスも理想気体方程式にほぼ従いますが、分子には分子全体の運動の 3 つの自由度に加えて、追加の内部自由度があるため、熱容量の形式はより複雑です。たとえば、二原子ガスは、原子運動に関連する分子あたり合計 6 つの単純自由度 (並進 3 つ、回転 2 つ、振動 1 つ) を持っています。低温では、分子あたりの関連する熱エネルギーでの励起状態の利用可能性に関する量子力学的制限のため、これらの自由度のすべてがガスの熱容量に完全に関与するとは限りません。

より一般的には、温度Tで平衡状態にあるシステムは、対応するボルツマン因子によって重み付けされたエネルギーEを持つ状態iを占める確率P _iを持ちます。 ここで、 Zは分配関数です。ここでも、エネルギーのような量k Tが中心的な重要性を持ちます。 $${\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},}$$

この結果には、（上記の理想気体の結果に加えて）化学反応速度論におけるアレニウスの式が含まれます。

統計力学では、熱力学的平衡にある孤立系のエントロピー S は、マクロ的な制約（例えば、固定された全エネルギーE ）を与えられた場合に系が取り得る異なるミクロな状態の数であるWの自然対数として定義される。 $${\displaystyle S=k\,\ln W.}$$

この方程式は、システムの微視的詳細、つまりミクロ状態 ( W経由) をそのマクロ状態 (エントロピーS経由) に関連付けるものであり、統計力学の中心的な考え方です。その重要性から、ボルツマンの墓石に刻まれています。

比例定数kは、統計力学的エントロピーをクラウジウスの古典的な熱力学的エントロピーと等しくする働きをする。 $${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}$$

代わりに、微視的な観点から 再スケールされた無次元エントロピーを選択することもできる。$${\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}$$

これはより自然な形式であり、この再スケールされたエントロピーはシャノンの後続の情報エントロピーと正確に一致します。

したがって、特性エネルギーkT は、再スケールされたエントロピーを 1 nat増加させるために必要なエネルギーです。

半導体では、ショックレーのダイオード方程式（電流の流れとp-n接合の静電ポテンシャルの関係）は、熱電圧と呼ばれる特性電圧（V _Tと表記） に依存します。熱電圧は絶対温度Tに依存し、 qは値を持つ電子の電荷の大きさです。$${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},}$$1.602 176 634 × 10 ⁻¹⁹  C . ^[6]同様に、 $${\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}$$

室温300 K（27 °C; 80 °F）では、 V _Tはおよそ25.85 mV ^{[7] [8] となり、}以下のように値を代入すると次の式が得られます。 $${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV} }$$

標準状態温度298.15 K（25.00 °C; 77.00 °F）では、およそ熱電圧はプラズマや電解質溶液でも重要であり（ネルンストの式など）、どちらの場合も、一定の電圧に保たれた境界によって電子やイオンの空間分布がどの程度影響を受けるかの尺度を提供します。^{[9] [10]}

ボルツマン定数は、19世紀のオーストリアの発見者ルートヴィヒ・ボルツマンにちなんで名付けられました。ボルツマンは1877年に初めてエントロピーと確率を関連付けましたが、マックス・プランクが初めてk を導入し、より正確な値を与えるまで、この関係は特定の定数で表現されることはありませんでした（プランクは、1900年から1901年にかけて黒体輻射の法則を導出した際に、エネルギー密度が1.346 × 10 ⁻²³  J/K（今日の数値より約2.5%低い）という理論を発表した。 ^{[11] 1900年以前は、ボルツマン因子を含む方程式は分子あたりのエネルギーとボルツマン定数ではなく、}気体定数 Rの一種と、物質のマクロな量に対するマクロなエネルギーを使用して書かれていた。ボルツマンの墓石に刻まれた方程式S = k ln Wの象徴的な簡潔な形は、実はボルツマンではなくプランクによるものである。プランクは、実際にこの方程式を自身の名を冠したhと同じ著作の中で導入した。^[12]

1920年、プランクはノーベル賞受賞講演で次のように書いている。^[13]

この定数はしばしばボルツマン定数と呼ばれますが、私の知る限り、ボルツマン自身はこれを導入したことがありません。これは奇妙な状況で、ボルツマンが時折発した発言からわかるように、この定数の正確な測定を実行する可能性について考えたことがなかったという事実によって説明できます。

この「特異な状況」は、当時の大きな科学的論争の 1 つに言及することで説明できます。19 世紀後半には、原子や分子が実在するのか、それとも単に問題を解決するための発見的ツールにすぎないのかという点で、かなりの意見の相違がありました。原子量で測定される化学分子が、運動論で測定される物理分子と同じであるかどうかについては、意見の一致がありませんでした。プランクの 1920 年の講演は次のように続いています。^[13]

それ以来、分子の質量を惑星の質量とほぼ同じ精度で測定する方法が 1 つだけではなく多数発見されたという事実以上に、過去 20 年間に実験技術が成し遂げた積極的かつ目覚ましい進歩のペースを最もよく示すものはないでしょう。

2019年のSI改訂以前のSIバージョンでは、ボルツマン定数は固定値ではなく測定量でした。その正確な定義も、ケルビン（ケルビン § 歴史を参照）やその他のSI基本単位（ジュール § 歴史を参照） の再定義により、長年にわたって変化してきました。

2017年に、ボルツマン定数の最も正確な測定値は、マイクロ波と音響共鳴を使用して三軸楕円体チャンバー内の単原子ガスの音速を測定する音響ガス温度測定によって得られました。^{[14] [15] [16]}この10年にわたる取り組みは、いくつかの研究室によってさまざまな技術で行われました。^[a]これは、2019年のSI改訂の基礎の1つです。これらの測定に基づいて、CODATAは1.380 649 × 10 ⁻²³  J/Kが国際単位系で使用されるボルツマン定数の最終的な固定値となる。^[17]

ボルツマン定数を再定義するための前提条件として、相対不確かさが1 ppm未満の実験値が1つと、相対不確かさが3 ppm未満の第2の技術による測定値が少なくとも1つ必要です。音響ガス温度測定では0.2 ppmに達し、ジョンソンノイズ温度測定では2.8 ppmに達しました。^[18]

kは温度とエネルギーの比例係数であるため、その数値はエネルギーと温度の単位の選択に依存します。SI単位でのボルツマン定数の数値が小さいということは、温度が1K変化しても粒子のエネルギーはわずかにしか変化しないことを意味します。1  ℃は、1 K . 特性エネルギーkTは、多くの物理的関係で遭遇する用語です。

ボルツマン定数は波長と温度の関係を規定する（hc / kを波長で割ると温度が求められる）。1マイクロメートルは14 387 .777 K、また電圧と温度の関係（ eV単位のkTは電圧に相当）1ボルトは11 604 .518 K。この2つの温度の比は、14 387 .777 キロ / 11 604 .518 K ≈ 1.239842 は、 eV⋅μm 単位での hc の数値です。

ボルツマン定数は、特徴的なミクロなエネルギーEからマクロな温度スケールTへのマッピングを提供します= ⁠え/け⁠ 。基礎物理学では、このマッピングは自然単位kを1に設定することで簡略化されることが多い。この慣例は、温度とエネルギー量が同じ次元を持つことを意味する。 ^{[22] [23]}特に、SI単位のケルビンは不要になり、ジュールで1 K =と定義される。1.380 649 × 10 ⁻²³  J . ^[24]この慣例によれば、温度は常にエネルギーの単位で与えられ、ボルツマン定数は式の中で明示的に必要とされない。 ^[22]

この規則により、多くの物理的関係や公式が簡素化されます。たとえば、各古典的自由度（上記）に関連するエネルギーの等分配式は次のようになります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kT}$$${\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T}$$

別の例として、熱力学的エントロピーの定義は情報エントロピーの形式と一致します。 ここで、P _{i は}各ミクロ状態の確率です。 $${\displaystyle S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.}$$

• 国際科学会議データ委員会
• 熱力学的ベータ
• 物理定数に名前が使われている科学者のリスト

• 基本単位の再定義後の SI パンフレット第 2 章の草案 (単位諮問委員会が作成)
• ケルビンの再定義に向けた大きな一歩：科学者がボルツマン定数を決定する新しい方法を発見