普及しているセットと内気なセット

数学において、普及と内気の概念は、「ほぼどこでも」と「測度ゼロ」の概念であり、無限次元空間の研究に適しており、有限次元の実空間上の並進不変ルベーグ測度を利用する。「内気」という用語は、アメリカの数学者ジョン・ミルナーによって提案された。

を実位相ベクトル空間とし、をのボレル可測部分集合とすると、が優勢であるとは、プローブ集合と呼ばれる有限次元部分空間が存在するときである。この場合、すべての に対してが成り立ち、ほぼすべてのに対してが成り立つ。ここでは上の-次元ルベーグ測度を表す。言い換えれば、すべてのルベーグに対して、超平面のほぼすべての点は に存在する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle v+p\in S}$${\displaystyle \lambda_{P}}$ ${\displaystyle p\in P,}$${\displaystyle \lambda_{P}}$${\displaystyle \dim(P)}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle v+P}$${\displaystyle S.}$

の非ボレル部分集合は、それが優勢なボレル部分集合を含む場合、優勢であると言われます。 ${\displaystyle V}$

のボレル部分集合は、その補集合が優勢である場合にシャイであると言われます。の非ボレル部分集合は、シャイなボレル部分集合内に含まれる場合にシャイであると言われます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

代わりの、そしてやや一般的な定義は、に対する横断測度（自明な測度以外） が存在する場合、集合を shy であると定義することです。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

のサブセットは、すべての点に、との交差がシャイセットである近傍がある場合、局所的にシャイであると言われます。 は、その補集合が局所的にシャイである場合、局所的に優勢であると言われます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle N_{v}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• が内気であれば、 のすべての部分集合と のすべての翻訳も内気である。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• すべてのシャイボレル集合は、有限でコンパクトな台 を持つ横方向測度を許容します。さらに、この測度は、その台が任意に小さい直径 を持つように選択できます。${\displaystyle S}$
• シャイ集合の有限または可算な和 集合もシャイ集合です。同様に、優勢集合の可算な積集合は優勢集合です。
• 任意のシャイ集合は局所的にシャイでもあります。 が可分空間である場合、 のすべての局所的にシャイな部分集合もシャイです。${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$
• 次元ユークリッド空間の部分集合は、ルベーグ測度が 0 である場合にのみ、シャイ (shy) である。${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• の一般的なサブセットは、${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$
• が無限次元の場合、 のすべてのコンパクト部分集合はシャイです。${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

以下では、「ほぼすべて」とは、述べられた特性が問題の空間の一般的なサブセットに当てはまることを意味します。

• 区間から実数直線へのほぼすべての連続関数は、どこでも微分不可能です。ここで、空間は、最大ノルムによって誘導される位相を持ちます。 ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle C([0,1];\mathbb {R} )}$
• 空間内のほぼすべての関数は、明らかに、 -倍微分可能関数の空間に対しても同じ性質が成り立つ。${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.}$$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).}$
• ほぼすべての数列は、数列が発散するという性質を持っています。${\displaystyle 1<p\leq +\infty ,}$${\displaystyle a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}}$$${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$$
• ホイットニー埋め込み定理の普及版：に含まれるクラスと次元のコンパクト多様体とする 。ほぼすべての関数はの埋め込みである。${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d+1}}$${\displaystyle M.}$
• がハウスドルフ次元を持つコンパクト部分集合である場合、ほぼすべての関数に対してもハウスドルフ次元を持つ。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle m\geq ,}$${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle d.}$
• ほぼすべての関数は、その周期点がすべて双曲的であるという性質を持っています。特に、任意の整数に対して、すべての周期点について同じことが当てはまります。${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$

• Hunt, Brian R. (1994). 「連続するどこでも微分不可能な関数の普及」Proc. Amer. Math. Soc . 122 (3). アメリカ数学会: 711–717. doi : 10.2307/2160745 . JSTOR  2160745.
• Hunt, Brian R. および Sauer, Tim および Yorke, James A. (1992)。「普及: 無限次元空間上の「ほぼすべての」並進不変量」。Bull . Amer. Math. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238。arXiv : math/9210220 . doi :10.1090/S0273-0979-1992-00328-2。S2CID 17534021  。{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)