移動面の微積分

移動面の計算（CMS ） [ ^{1]は、古典的な}テンソル計算を変形多様体へ拡張したものである。CMSの中心となるのは、ジャック・アダマールによって最初に定義^[2]されたテンソル時間微分である。これは、テンソルに適用すると テンソルを生成するという点で、微分多様体上の共変微分と類似した役割を果たす。${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

が時間的パラメータ でインデックスされた表面の発展であると仮定します。表面速度と演算子の定義は、CMSの幾何学的基礎です。速度Cは、瞬間法線方向の表面の変形率です。ある点におけるの値は、極限として定義されます。${\displaystyle \Sigma_{t}}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{距離}}(P,P^{*})}{h}}}$

ここで、は 上の点であり、点 P でに垂直な直線上にあります。この定義は、下の最初の幾何学的図に示されています。速度は符号付き量です。つまり、が選択した法線の方向を指している場合は正で、そうでない場合は負です。 と の関係は、初等微積分における位置と速度の関係に似ています。つまり、どちらかの量がわかれば、微分または積分によってもう一方を構築できます。 ${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle \Sigma_{t+h}}$${\displaystyle \Sigma_{t}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\overline {PP^{*}}}}$${\displaystyle \Sigma_{t}}$${\displaystyle C}$

上で定義されたスカラー場 F のテンソル時間微分は、瞬間的に法線方向 におけるの変化率です。${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle \Sigma_{t}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}}$

この定義は、2 番目の幾何図にも示されています。

上記の定義は幾何学的なものです。解析的な設定では、これらの定義を直接適用できない場合があります。CMS は、微積分と微分幾何学の基本的な演算に基づいてC と の解析的な定義を提供します。 ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

およびの解析的定義について、次式で与えられる の発展を考える。${\displaystyle C}$${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)}$

ここで、 は一般曲線空間座標であり、は表面座標である。慣例により、関数の引数のテンソルインデックスは省略される。したがって、上記の式には ではなく が含まれる。速度オブジェクトは偏微分として定義される。${\displaystyle Z^{i}}$${\displaystyle S^{\alpha}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\alpha}}$${\displaystyle {\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}}$

${\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}}$

速度は、次の式によって最も直接的に計算できる。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=V^{i}N_{i}}$

ここで、 は法線ベクトルの共変成分です。 ${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle {\vec {N}}}$

また、表面の接空間のシフトテンソル表現と接線速度を と定義すると、不変量Fの導関数の定義は次のようになります。 ${\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}$${\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}$${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla}}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}$

ここで、S 上の共変微分です。 ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

テンソルについては、適切な一般化が必要である。代表的なテンソルの適切な定義は次のようになる。 ${\displaystyle T_{j\beta}^{i\alpha}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla}}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}$

ここで はクリストッフェル記号であり、は表面の適切な時間記号です（は表面の曲率形状演算子の行列表現です） ${\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}$${\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

-微分は収縮と交換し、任意の指数の集合に対して 積の規則を満たす。${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }}$

空間テンソルの 表面制約の連鎖律に従う：

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}$

連鎖律は空間「計量」の微分が消える ことを示している${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}$

ここで、 と は共変および反変計量テンソル、はクロネッカーのデルタ記号、 とはレヴィ・チヴィタ記号です。レヴィ・チヴィタ記号に関するメインの記事では、直交座標系でのレヴィ・チヴィタ記号について説明しています。上記の規則は一般座標でも有効であり、レヴィ・チヴィタ記号の定義には共変計量テンソル の行列式の平方根を含める必要があります。 ${\displaystyle Z_{ij}}$${\displaystyle Z^{ij}}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$${\displaystyle Z_{ij}}$

鍵となる表面オブジェクトの微分は、非常に簡潔で魅力的な公式につながる。共変表面計量テンソルと反変計量テンソルに適用すると、次の恒等式が得られる。 ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle S_{\alpha \beta }}$${\displaystyle S^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

ここで、およびは二重共変曲率テンソルおよび二重反変曲率テンソルである。これらの曲率テンソルは、混合曲率テンソルと同様に、次式を満たす。 ${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$${\displaystyle B^{\alpha \beta }}$${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}}$

シフトテンソルと法線は ${\displaystyle Z_{\alpha }^{i}}$${\displaystyle N^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}$

最後に、表面のレヴィ・チヴィタ 記号 と${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

CMS は、体積積分と表面積分の時間微分に関する規則を提供します。