ほぼプライム

数論では、自然数が $k$ 個の素因数を持つ場合、その自然数は $k$ ほぼ素数と呼ばれます。^[1]^[2]^[3]より正式には、数 $n$ が $kほぼ素数となるのは、$ $Ω$ $($ $n$ $) =$ $k$ の場合のみです。ここで、 $Ω($ $n$ $) は$ $n$ を素因数分解した際の素数の総数です（すべての素数の指数の合計と見ることもできます）。

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

したがって、自然数は、1 ほぼ素数である場合に限り素数であり、 2 ほぼ素数である場合に限り半素数です。 $kほぼ素数の集合は通常$ $P k$ で表されます。最小の $kほぼ素数は$ $2 k$ です。最初のいくつかの $k$ ほぼ素数は次のとおりです。

n以下の正の整数で、ちょうど $k$ 個の素因数（必ずしも異なるとは限らない） $を持つものの個数πk$ $（$ n $）は次式に$ 漸近する：^[4]^[^{関連性あり？}^]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

ランダウの結果。^[5]ハーディ・ラマヌジャンの定理も参照。^{[関連性あり? ]}

プロパティ

$k 1$ ほぼ素数と $k 2$ ほぼ素数の積は $(k 1 + k 2)$ ほぼ素数です。
kほぼ素数は、 $すべての$ $n$ $>$ $k$ $に対して、 n$ ほぼ素数を因数として持つことはできません。

参考文献

^ サンダー、ヨージェフ;ドラゴスラフ、ミトリノヴィッチ S.クリスティチ、ボリスラフ (2006)。整数論ハンドブック I。スプリンガー。 p. 316.土井：10.1007/1-4020-3658-2。ISBN 978-1-4020-4215-7。
^ レンイ、アルフレッド A. (1948)。「単一の素数と単一のほぼ素数の和としての偶数の表現について」。Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk: セリヤ・マテマティチェスカヤ（ロシア語）。12 (1): 57–78。
^ Heath-Brown, DR (1978年5月). 「算術級数と短い間隔におけるほぼ素数」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 83 (3): 357–375. Bibcode :1978MPCPS..83..357H. doi :10.1017/S0305004100054657. S2CID 122691474.
^ テネンバウム、ジェラルド（ 1995）。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-41261-2。
^ エドマンド・ランダウ(1953) [初版 1909 年]。「§ 56、ゲシュタルトの統合」。プリムツァーレンの安全なハンドブック。 Vol. 1.チェルシー出版社。 p. 211. $\sum _{p\leq x}F(p,x)$

外部リンク

Weisstein、Eric W.「ほぼ素数」。MathWorld。

[1] サンダー、ヨージェフ;ドラゴスラフ、ミトリノヴィッチ S.クリスティチ、ボリスラフ (2006)。整数論ハンドブック I。スプリンガー。 p. 316.土井：10.1007/1-4020-3658-2。ISBN 978-1-4020-4215-7。

[2] レンイ、アルフレッド A. (1948)。「単一の素数と単一のほぼ素数の和としての偶数の表現について」。Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk: セリヤ・マテマティチェスカヤ（ロシア語）。12 (1): 57–78。

[3] Heath-Brown, DR (1978年5月). 「算術級数と短い間隔におけるほぼ素数」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 83 (3): 357–375. Bibcode :1978MPCPS..83..357H. doi :10.1017/S0305004100054657. S2CID 122691474.

[4] テネンバウム、ジェラルド（ 1995）。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-41261-2。

[5] エドマンド・ランダウ(1953) [初版 1909 年]。「§ 56、ゲシュタルトの統合」。プリムツァーレンの安全なハンドブック。 Vol. 1.チェルシー出版社。 p. 211. $\sum _{p\leq x}F(p,x)$