ルースとアーロンのペア

数学において、ルース・アーロンペアは、各整数の素因数の合計が等しい 2 つの連続する整数 (例: 714 と 715)で構成されます。

714 = 2 × 3 × 7 × 17、

715 = 5 × 11 × 13、

そして

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29。

因数分解で複数回出現する素数を何回カウントするかに応じて、定義にはさまざまなバリエーションがあります。

この名前は、ベーブ・ルースとハンク・アーロンにちなんでカール・ポメランスが付けたものである。ルースの通算レギュラーシーズン本塁打数は714本であったが、アーロンは1974年4月8日に通算715本目の本塁打を放ち、この記録を破った。ポメランスは、アーロン（近くのアトランタ・ブレーブスのメンバー）がルースの記録を破った当時、ジョージア大学の数学者であり、ポメランスの同僚の学生が、714と715の素因数の和が等しいことに気づいた。^[1]

異なる素因数だけを数えると、 最初のいくつかの Ruth–Aaron のペアは次のようになります。

( 5 , 6 )、( 24 , 25 )、( 49 , 50 )、( 77 , 78 )、( 104 , 105 )、( 153 , 154 )、(369, 370)、(492, 493)、(714) 、715)、(1682、 1683)、(2107、2108)

(各ペアの小さい方はOEIS : A006145に記載されています)。

繰り返される素因数を数えると（例：8 = 2×2×2、9 = 3×3、2+2+2 = 3+3）、最初のいくつかのルースとアーロンのペアは次のようになります。

( 5 , 6 )、( 8 , 9 )、( 15 , 16 )、(77, 78)、( 125 , 126 )、(714, 715)、(948, 949)、(1330, 1331)

(各ペアの小さい方はOEIS : A039752に記載されています)。

2 つのリストの交差は次のように始まります。

(5、6)、(77、78)、(714、715)、(5405、5406)。

(各ペアの小さい方はOEIS : A039753に記載されています)。

平方でない整数のルース・アーロンペアは、素因数の合計が同じ両方のリストに属します。共通部分には平方でないペアも含まれます。たとえば、(7129199, 7129200) = (7×11 ² ×19×443, 2 ⁴ ×3×5 ² ×13×457) です。ここで、7+11+19+443 = 2+3+5+13+457 = 480 であり、7+11+11+19+443 = 2+2+2+3+5+5+13+457 = 491 でもあります。

ルース・アーロンペアはスパースです（つまり、密度は0です）。これは1974年にネルソンらによって推測され^[2]、1978年にポール・エルデシュとポメランスによって証明されました^{[3] 。}

ルース-アーロン トリプレット(重複するルース-アーロン ペア) も存在します。異なる素因数を数える場合、最初のトリプレットとおそらく 2 番目のトリプレット:

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419、

89460295 = 5 × 4201 × 4259、

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389、

2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465 です。

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411、

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089、

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021、

3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589 です。

繰り返される素因数を数えるときの最初の 2 つの Ruth-Aaron 三つ組:

417162 = 2 × 3 × 251 × 277、

417163 = 17 × 53 × 463、

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499、

2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533 です。

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197、

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881、

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707、

2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428 となります。

2006 年現在、^[update]上記の 4 つの三つ子のみが知られています。^{[引用が必要]}

• マリス・マグワイア・ソーサペア

• Weisstein, Eric W. 「Ruth-Aaron ペア」。MathWorld。
• 「ルース・アーロン トリプレット」および「ルース・アーロン ペアの再考」。プライム パズルと問題の関係。 2006 年 11 月 9 日閲覧。