軌道周期

公転周期（公転周期ともいう）は、ある天体が別の天体の周りを一周するのにかかる時間の長さである。天文学では、通常、太陽を周回する惑星や小惑星、惑星を周回する衛星、他の恒星を周回する太陽系外惑星、または連星に適用される。また、惑星や衛星を周回する衛星が一周するのにかかる時間を指すこともある。

一般的な天体の場合、軌道周期は、たとえば地球が太陽の周りを公転するなど、ある天体が主天体の周りを360 度公転することによって決まります。

天文学における周期は、通常、時間、日、または年などの時間の単位で表されます。

中心天体の周りを回る小天体

ケプラーの第三法則によれば、円軌道または楕円軌道で互いの周りを回る2つの質点の軌道周期Tは次のように表される。^[1]

T = 2 π a 3 G M {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{GM}}}}

どこ：

aは軌道の長半径である
Gは重力定数であり、
M はより質量の大きい方の物体の質量です。

与えられた半長径を持つすべての楕円の場合、軌道周期は離心率に関係なく同じです。

逆に、与えられた軌道周期 T を持つために物体が周回しなければならない距離を計算するには、次の式を使用します。

a={\sqrt[{3}]{\frac {GMT^{2}}{4\pi ^{2}}}

たとえば、質量 100 kgの天体の周りを 24時間ごとに一周するには、小天体は中心天体の質量の中心から 1.08 メートルの距離を周回する必要があります。

完全な円軌道の特別なケースでは、軌道長半径aは軌道の半径に等しく、軌道速度は一定で

v o = G M r {\displaystyle v_{\text{o}}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}}

どこ：

rは円軌道の半径（メートル）です。

これは脱出速度の1 ⁄ √2倍（≈0.707倍）に相当します。

中心天体の密度の影響

均一な密度の完全な球の場合、質量を測定せずに最初の式を次のように書き直すことができます。

T={\sqrt {{\frac {a^{3}}{r^{3}}}{\frac {3\pi }{G\rho }}}}

どこ：

rは球の半径である
aは軌道の長半径（メートル）である。
Gは重力定数であり、
ρ は立方メートルあたりのキログラム単位で表した球の密度です。

たとえば、半径 50 cmのタングステン球の表面から10.5 cm上空を円軌道で周回する小天体は、1 mm / s をわずかに超える速度で移動し、1 時間で 1 周します。同じ球が鉛でできていた場合、小天体は表面からわずか 6.7 mm上空を周回するだけで、同じ軌道周期を維持できます。

非常に小さな物体が、任意の半径と平均密度ρ（kg/m ³ ）の球の表面からわずかに上の円軌道上にある場合、上記の式は次のように簡略化されます（ M = Vρ = ⁠であるため）。4/3⁠ $π$ a ³ρ )

T={\sqrt {\frac {3\pi }{G\rho }}}

したがって、低軌道での軌道周期は、中心天体の大きさに関係なく、中心天体の密度のみによって決まります。

したがって、地球を中心天体（または同じ平均密度約5,515 kg/m ³を持つ他の球対称天体、^[2]例えば水星は5,427 kg/m ³、金星は5,243 kg/m ³）とすると、次の式が得られます。

T = 1.41時間

そして、水（ρ≈1,000 kg/m ³）^[3]や同様の密度を持つ天体（例えば土星の衛星イアペトゥスの1,088 kg/m ³やテティスの984 kg/m ^3）の場合は次の式が得られます。

T = 3.30時間

したがって、 Gのような非常に小さな数値を使用する代わりに、水などの参照物質を使用して万有引力の強さを説明することができます。球状の水面の真上の軌道の軌道周期は 3 時間 18 分です。逆に、密度の単位があれば、これを一種の「普遍的な」時間単位として使用できます。

二つの物体が互いに周回する

天体力学では、両方の軌道を回る天体の質量を考慮すると、軌道周期Tは次のように計算できる。^[4]

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}}

どこ：

aは、物体の中心が動く楕円の長半径の合計、または同等に、一方の物体がもう一方の物体を原点とする基準フレーム内で動く楕円の長半径（円軌道の場合はそれらの一定の距離に等しい）である。
M ₁ + M _{2 は}2つの物体の質量の合計であり、
G は重力定数です。

放物線または双曲線の軌道では、動きは周期的ではなく、完全な軌道の持続時間は無限です。

恒星周期と朔望周期の例

地球を基準とした太陽系の朔望周期表: ^{[引用が必要]}

惑星の衛星の場合、朔望周期は通常、太陽朔望周期、すなわち、月が照明段階を完了するのにかかる時間、つまり惑星表面の天文学者にとって太陽の段階を完了するのにかかる時間を意味します。地球の観測者は問題の衛星の周りを回っていないため、地球の動きは他の惑星のこの値を決定するものではありません。たとえば、デイモスの朔望周期は 1.2648 日で、デイモスの恒星周期 1.2624 日よりも 0.18% 長いです。^{[引用が必要]}

他の惑星と比較した朔望周期

朔望周期の概念は地球だけでなく他の惑星にも適用され、計算式は上記と同じです。以下は、いくつかの惑星の朔望周期を相対的に表した表です。

軌道周期の例: 連星

参照

注記

^ ベイト、ミューラー、ホワイト（1971）、33ページ。
^ 地球の密度、wolframalpha.com
^ 水の密度、wolframalpha.com
^ Bradley W. Carroll、Dale A. Ostlie. 現代天体物理学入門。第2版。Pearson 2007、p. 49（式2.37を簡略化）。
^ Oliver Montenbruck、Eberhard Gill (2000)。衛星軌道：モデル、方法、およびアプリケーション。Springer Science & Business Media。p . 50。ISBN 978-3-540-67280-7。
^ 「地球の軸の歳差運動 - Wolframデモンストレーションプロジェクト」。demons.wolfram.com 。 2019年2月10日閲覧。
^ ハンヌ・カルトトゥーネン;他。（2016年）。基礎天文学 (第 6 版)。スプリンガー。 p. 145.ISBN 9783662530450. 2018年12月7日閲覧。
^ 「質問と回答 - Sten の宇宙ブログ」www.astronomycafe.net。
^ abcdefg 「惑星ファクトシート」nssdc.gsfc.nasa.gov。

文献

ベイト、ロジャー B.; ミューラー、ドナルド D.; ホワイト、ジェリー E. (1971)、天体力学の基礎、ドーバー

外部リンク

[FOOTNOTEBateMuellerWhite197133-1] ベイト、ミューラー、ホワイト（1971）、33ページ。

[2] 地球の密度、wolframalpha.com

[3] 水の密度、wolframalpha.com

[4] Bradley W. Carroll、Dale A. Ostlie. 現代天体物理学入門。第2版。Pearson 2007、p. 49（式2.37を簡略化）。

[5] ^ Oliver Montenbruck、Eberhard Gill (2000)。衛星軌道：モデル、方法、およびアプリケーション。Springer Science & Business Media。p . 50。ISBN 978-3-540-67280-7。

[6] 「地球の軸の歳差運動 - Wolframデモンストレーションプロジェクト」。demons.wolfram.com 。 2019年2月10日閲覧。

[7] ハンヌ・カルトトゥーネン;他。（2016年）。基礎天文学 (第 6 版)。スプリンガー。 p. 145.ISBN 9783662530450. 2018年12月7日閲覧。

[8] 「質問と回答 - Sten の宇宙ブログ」www.astronomycafe.net。

[auto-9] 「惑星ファクトシート」nssdc.gsfc.nasa.gov。