意味 多項式列( p n ) を固定します。 x の多項式に対する線形演算子 Q を次のように 定義します。Q [ p n （ x ） ] = n p n − 1 （ x ） 。 {\displaystyle Q[p_{n}(x)]=np_{n-1}(x)~.}
これにより、すべての多項式上のQ が決定されます。多項式列( p n ) Qが シフト同変である場合、 シェッファー列に なります。このようなQは デルタ演算子 です。ここで、多項式上の線形演算子Q が シフト同変 であるとは、f ( x ) = g ( x + a ) = T a g ( x )が g ( x 、 ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a ) が成り立つ場合、 つまり、Qがすべての シフト演算子 と可換である場合、つまりT a Q = QT a
物件 全てのシェファー数列の集合は、多項式数列の陰影合成 演算の下で群 であり、次のように定義される。( p n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) ( q n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) p n （ x ） = ∑ k = 0 n 1 n 、 k x k そして q n （ x ） = ∑ k = 0 n b n 、 k x k 。 {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{および}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}~.}
次に、本影の構成p ∘ q {\displaystyle p\circ q} n 番目 の項が（ p n ∘ q ） （ x ） = ∑ k = 0 n 1 n 、 k q k （ x ） = ∑ 0 ≤ ℓ ≤ k ≤ n 1 n 、 k b k 、 ℓ x ℓ {\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }} n は p n n 番目の項であるためです。しかし、q には現れません。これは数列全体を指し、その項の 1 つを指していないためです。）
この群の単位元は標準単項式基底である。 e n （ x ） = x n = ∑ k = 0 n δ n 、 k x k 。 {\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}
重要な部分群は 2つあり、1つは演算子Qが 単なる微分である数列である アペル数列 群、もう1つは恒等式 を満たす 二項式数列群である。p n （ x + y ） = ∑ k = 0 n （ n k ） p k （ x ） p n − k （ y ） 。 {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ p_{nk}(y)~.} ( p n x ) : n = 0, 1, 2, ... ) p 0 （ x ） = 1 {\displaystyle p_{0}(x)=1\ } p n （ 0 ） = 0 のために n ≥ 1 。 {\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\mbox{ for }}\quad n\geq 1~.}
アペル数列群は可換群で あるが、二項式型数列群は可換群ではない。アペル数列群は正規部分群 であるが、二項式型数列群は正規部分群ではない。シェファー数列群は、アペル数列群と二項式型数列群の半直積である。したがって、アペル数列群の各 剰余類 には、二項式型数列がちょうど1つ含まれる。2つのシェファー数列が同じ剰余類に含まれるのは、上記で説明した演算子Q （ その数列の「デルタ演算子」と呼ばれる ） が、どちらの場合も同じ線形演算子である場合に限る。（一般に、デルタ演算子 とは、次数を1つ減らす多項式上のシフト同変線形演算子である。この用語はF.ヒルデブラントによる。）
s n x )p n x )s n （ x + y ） = ∑ k = 0 n （ n k ） p k （ x ） s n − k （ y ） 。 {\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ s_{nk}(y)~.}
シェファー数列 という用語は、二項式の何らかの数列とこのような関係を持つ数列を意味するように定義される ことがあります。特に、( s n x ) ) s n （ x + y ） = ∑ k = 0 n （ n k ） x k s n − k （ y ） 。 {\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ x^{k}\ s_{nk}(y)~.}
エルミート多項式 の列、ベルヌーイ多項式 の列、および単項式 ( x n n = 0, 1, 2, ... )
シェファー数列p n は指数生成関数 によって特徴付けられる。∑ n = 0 ∞ p n （ x ） n ! t n = A （ t ） exp （ x B （ t ） ） \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {p_{n}(x)}{n!}}\ t^{n}=A(t)\ \exp \!{\bigl (}\ x\ B(t)\ {\bigr )}\ } A とBは t に関する(形式的な )べき級数 である。したがって、シェファー数列は一般化されたアペル多項式 の例であり、それゆえ関連する漸化式 を持つ。
例 シェファー数列である多項式数列の例としては、以下のようなものがある。
参考文献 Rota, G.-C. ; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (1973 年 6 月). "組合せ論の基礎 VIII: 有限作用素計算" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684– 750. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Rota, G.-C. ; Doubilet, P.; Greene, C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A.; Stanley, R. (1975).有限作用素解析 . Academic Press. ISBN 0-12-596650-4 。Sheffer, IM (1939). "タイプゼロの多項式集合のいくつかの性質". Duke Mathematical Journal 5 (3): 590–622 . doi : 10.1215/S0012-7094-39-00549-1 .ローマン、スティーブン（1984）。影の計算 。純粋および応用数学。第 111巻。ロンドン：アカデミック・プレス社［ハーコート・ブレイス・ジョバノビッチ出版社］。ISBN 978-0-12-594380-2 MR 0741185 . 
![{\displaystyle Q[p_{n}(x)]=np_{n-1}(x)~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ceecd5db52cbaaa75fc6786c62216c4d6e4adc)
