スターリング多項式

数学において、スターリング多項式は、組み合わせ論や解析学に現れる重要な数列を一般化した多項式の族であり、スターリング数、ベルヌーイ数、および一般化ベルヌーイ多項式と密接に関連しています。以下で検討するスターリング多項式数列には複数の変種があり、中でも特にシェファー数列形式が挙げられます。${\displaystyle S_{k}(x)}$指数生成関数の特殊な形式とスターリング（畳み込み）多項式によって特徴的に定義される、$\displaystyle \sigma _{n}(x)$これらは、通常の生成関数も満たし、スターリング数（両方の種類）を任意の複素数値入力に一般化する際に役立ちます。本稿の最後の節では、この数列の「畳み込み多項式」の変種とその性質について考察します。スターリング多項式のその他の変種については、参考文献に記載されている記事への補足リンクで研究されています。

非負整数kに対して、スターリング多項式S _k ( x ) は、次のシェファー数列である。${\displaystyle (g(t),{\bar {f}}(t)):=\left(e^{-t},\log \left({\frac {t}{1-e^{-t}}}\right)\right)}$^{[ 1 ]}指数生成関数によって定義される

${\displaystyle \left({t \over {1-e^{-t}}}\right)^{x+1}=\sum _{k=0}^{\infty }S_{k}(x){t^{k} \over k!}.}$

スターリング多項式は、指数関数を母関数とするノルルンド多項式（または一般化ベルヌーイ多項式）^{[ 2 ]}の特殊な場合である。

${\displaystyle \left({t \over {e^{t}-1}}\right)^{a}e^{zt}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}^{(a)}(z){t^{k} \over k!},}$

関係式で与えられる${\displaystyle S_{k}(x)=B_{k}^{(x+1)}(x+1)}$。

最初の10個のスターリング多項式を以下の表に示します。

スターリング多項式の別の変種は^{[ 3 ]}で検討されている（下記のスターリング畳み込み多項式に関する小節も参照）。特に、I. GesselとRP Stanleyによる論文では、修正スターリング多項式列が定義されている。${\displaystyle f_{k}(n):=S(n+k,n)}$そして${\displaystyle g_{k}(n):=c(n,nk)}$どこ${\displaystyle c(n,k):=(-1)^{nk}s(n,k)}$は、非負整数に対する2つのスターリング数三角形を用いて表される、第1種の符号なし スターリング数である。${\displaystyle n\geq 1,\ k\geq 0}$固定の場合${\displaystyle k\geq 0}$、 両方${\displaystyle f_{k}(n)}$そして${\displaystyle g_{k}(n)}$入力の多項式である${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$それぞれの${\displaystyle 2k}$そして、先頭係数は二重階乗項で与えられる。${\displaystyle (1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1))/(2k)!}$。

下に${\displaystyle B_{k}(x)}$ベルヌーイ多項式と${\displaystyle B_{k}=B_{k}(0)}$慣例に基づくベルヌーイ数${\displaystyle B_{1}=B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}};}$$s_{m,n}}$は第一種スターリング数を表す。${\displaystyle S_{m,n}}$は第2種スターリング数を表します。

• 特別な値:$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(-m)&={\frac {(-1)^{k}}{k+m-1 \choose k}}S_{k+m-1,m-1}&&0<m\in \mathbb {Z} \\[6pt]S_{k}(-1)&=\delta _{k,0}\\[6pt]S_{k}(0)&=(-1)^{k}B_{k}\\[6pt]S_{k}(1)&=(-1)^{k+1}((k-1)B_{k}+kB_{k-1})\\[6pt]S_{k}(2)&={\tfrac {(-1)^{k}}{2}}((k-1)(k-2)B_{k}+3k(k-2)B_{k-1}+2k(k-1)B_{k-2})\\[6pt]S_{k}(k)&=k!\\[6pt]\end{aligned}}}$$
• もし${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$そして${\displaystyle m<k}$それから： $${\displaystyle S_{k}(m)={(m+1)}{\binom {k}{m+1}}\sum _{j=0}^{m}(-1)^{m-j}s_{m+1,m+1-j}{\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$$
• もし${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$そして${\displaystyle m\geq k}$そして：^{[ 4 ]}$${\displaystyle S_{k}(m)=(-1)^{k}B_{k}^{(m+1)}(0),}$$そして：$${\displaystyle S_{k}(m)={(-1)^{k} \over {m \choose k}}s_{m+1,m+1-k}.}$$

• シーケンス${\displaystyle S_{k}(x-1)}$は二項型である。$${\displaystyle S_{k}(x+y-1)=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}S_{i}(x-1)S_{k-i}(y-1).}$$さらに、この基本的な再帰関係が成り立つ。$${\displaystyle S_{k}(x)=(x-k){S_{k}(x-1) \over x}+kS_{k-1}(x+1).}$$
• スターリング数を含む明示的な表現は、ラグランジュの補間公式を用いて導出できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(x)&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{k-n}S_{k+n,n}{{x+n \choose n}{x+k+1 \choose k-n} \over {k+n \choose n}}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}s_{k+n+1,n+1}{{x-k \choose n}{x-k-n-1 \choose k-n} \over {k+n \choose k}}\\[6pt]&=k!\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\sum _{m=j}^{k}{x+m \choose m}{m \choose j}L_{k+m}^{(-k-j)}(-j)\\[6pt]\end{aligned}}}$$ここ、${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ラゲール多項式です。
• 以下の関係も同様に成り立つ。$${\displaystyle {k+m \choose k}S_{k}(x-m)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k+m \choose i}S_{k-i+m,m}\cdot S_{i}(x),}$$$${\displaystyle {k-m \choose k}S_{k}(x+m)=\sum _{i=0}^{k}{k-m \choose i}s_{m,m-k+i}\cdot S_{i}(x).}$$
• 生成関数を微分すると、次のことが容易に導かれる。$${\displaystyle S_{k}^{\prime }(x)=-\sum _{j=0}^{k-1}{k \choose j}S_{j}(x){\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$$

• ベルヌーイ多項式
• 第2種ベルヌーイ多項式
• シェファーとアペルのシーケンス
• 差分多項式
• 特殊な多項式生成関数
• グレゴリー係数

• Erdeli, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F. & Tricomi, FG高次超越関数 第 3 巻. ニューヨーク.
• グラハム、クヌース、パタシュニク（1994）。具体的な数学：コンピュータ科学の基礎。
• S. Roman (1984).影の計算。

• ワイスタイン、エリック W. 「スターリング多項式」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック W. 「ノーランド多項式」。マスワールド。
• この記事は、 PlanetMathの Stirling polynomial から引用した資料を使用しており、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。