ホルム・ボンフェローニ法

単純なボンフェローニ補正では、 p値が以下の帰無仮説のみを棄却します。$\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$FWER、すなわち1つ以上の真の帰無仮説を棄却するリスク（すなわち1つ以上の第一種過誤を犯すリスク）が最大で${\displaystyle \alpha }$第一種過誤を防ぐためのこの対策の代償は、一つ以上の誤った帰無仮説を棄却できないリスク（つまり、一つ以上の第二種過誤を犯すリスク）が増加することである。

Holm–Bonferroni法はFWERも制御します。${\displaystyle \alpha }$ただし、古典的なボンフェローニ法よりもタイプIIエラーのリスク増加は少ない。ホルム・ボンフェローニ法はp値を低い順に並べ替え、名目上のアルファレベルと比較する。$\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$に${\displaystyle \alpha }$（それぞれ）すなわち値${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}},\ldots ,{\frac {\alpha }{2}},{\frac {\alpha }{1}}}$。

• インデックス${\displaystyle k}$棄却を検証するのに十分低くない最初のp値を特定します。したがって、帰無仮説は${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(k-1)}}$帰無仮説は棄却されるが、${\displaystyle H_{(k)},...,H_{(m)}}$拒否されるわけではありません。
• もし${\displaystyle k=1}$したがって、棄却に十分なほど低いp値は存在しなかったため、帰無仮説は棄却されない。
• そのようなインデックスがない場合${\displaystyle k}$そうなると、すべてのp値は棄却に十分低い値となり、したがってすべての帰無仮説は棄却される（どれも採択されない）。

させて${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(m)}}$p値によってソートされた仮説群とする$${\displaystyle P_{(1)}\leq P_{(2)}\leq \cdots \leq P_{(m)}}$$。 させて${\displaystyle I_{0}}$は、(未知の)真の帰無仮説に対応するインデックスの集合であり、${\displaystyle m_{0}}$メンバー。

主張：もし私たちがある真の仮説を誤って棄却したとしても、真の仮説が存在する。${\displaystyle H_{(\ell )}}$そのために${\displaystyle P_{(\ell )}}$最大で$\displaystyle {\frac {\alpha }{m_{0}}}}$。

まず、この場合、少なくとも1つの真の仮説が存在することに注意してください。${\displaystyle m_{0}\geq 1}$。 させて${\displaystyle \ell }$次のような${\displaystyle H_{(\ell )}}$これは最初に棄却された真の仮説です。${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(\ell -1)}}$これらはすべて誤った仮説として棄却された。したがって、${\displaystyle \ell -1\leq m-m_{0}}$したがって、$\displaystyle {\frac {1}{m-\ell +1}}\leq {\frac {1}{m_{0}}}}$（１）以来${\displaystyle H_{(\ell )}}$拒否されたら、${\displaystyle P_{(\ell )}\leq {\frac {\alpha }{m-\ell +1}}}$テスト手順の定義により、(1)を用いると、次の結論が得られる。${\displaystyle P_{(\ell )}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}}$ご希望に応じて。

それでは、ランダムイベントを定義しましょう。${\displaystyle A=\bigcup _{i\in I_{0}}\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}}$。なお、${\displaystyle i\in I_{o}}$、 以来${\displaystyle H_{i}}$が真の帰無仮説である場合、次のようになります。${\displaystyle P\left(\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}\right)={\frac {\alpha }{m_{0}}}}$確率測度の劣加法性とは、${\displaystyle \Pr(A)\leq \sum _{i\in I_{0}}P\left(\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}\right)=\sum _{i\in I_{0}}{\frac {\alpha }{m_{0}}}=\alpha }$したがって、真の仮説を棄却する確率は最大で${\displaystyle \alpha }$。

Holm–Bonferroni法は、閉じた検定手順と見なすことができ、^{[ 2 ]} Bonferroni補正は帰無仮説のそれぞれの交点に局所的に適用されます。

閉鎖原理は、仮説が${\displaystyle H_{i}}$仮説のファミリーにおいて${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$拒否される – レベルでFWERを制御しながら${\displaystyle \alpha }$–交差のすべてのサブファミリーが${\displaystyle H_{i}}$レベルで拒否される${\displaystyle \alpha }$。

Holm–Bonferroni法は、${\displaystyle m}$比較回数は少なく、一方、検定すべき帰無仮説のすべての交差の数はオーダーである。${\displaystyle 2^{m}}$これはFWERを強い意味で制御します。

Holm–Bonferroni法では、まずテストします。${\displaystyle H_{(1)}}$棄却されない場合は、すべての帰無仮説の共通部分${\displaystyle \bigcap \nolimits _{i=1}^{m}H_{i}}$も棄却されないので、各基本仮説に対して少なくとも1つの交差仮説が存在する。${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$それは否定されないので、我々はどの基本仮説も否定しない。

もし${\displaystyle H_{(1)}}$レベルで拒否されます${\displaystyle \alpha /m}$すると、それを含むすべての交差サブファミリーも拒否されるため、${\displaystyle H_{(1)}}$拒否されます。これは、${\displaystyle P_{(1)}}$は各交差部分族の中で最小であり、部分族のサイズは最大で${\displaystyle m}$ボンフェローニ閾値がより大きい${\displaystyle \alpha /m}$。

同じ論理が以下に適用されます${\displaystyle H_{(2)}}$しかし、${\displaystyle H_{(1)}}$既に拒否されているすべての交差サブファミリーを拒否すれば十分である${\displaystyle H_{(2)}}$それなし${\displaystyle H_{(1)}}$。 一度${\displaystyle P_{(2)}\leq \alpha /(m-1)}$を含むすべての交差点を保持します${\displaystyle H_{(2)}}$拒否されます。

それぞれに同じことが当てはまります${\displaystyle 1\leq i\leq m}$。

仮説検定が負の依存関係にない場合、置き換えることが可能です${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}},\ldots ,{\frac {\alpha }{1}}}$と：

${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/m},1-(1-\alpha )^{1/(m-1)},\ldots ,1-(1-\alpha )^{1}}$

その結果、わずかに強力な検定となった。

させて${\displaystyle P_{(1)},\ldots ,P_{(m)}}$を順序付けられた未調整p値とする。${\displaystyle H_{(i)}}$、${\displaystyle 0\leq w_{(i)}}$対応する${\displaystyle P_{(i)}}$。 拒否する${\displaystyle H_{(i)}}$に限って

${\displaystyle P_{(j)}\leq {\frac {w_{(j)}}{\sum _{k=j}^{m}w_{(k)}}}\alpha ,\quad j=1,\ldots ,i}$

Holm–Bonferroni法による調整済みp値は以下のとおりです。

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{(m-j+1)p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

前述の例では、調整済みp値は次のとおりです。${\displaystyle {\widetilde {p}}_{1}=0.03}$、${\displaystyle {\widetilde {p}}_{2}=0.06}$、${\displaystyle {\widetilde {p}}_{3}=0.06}$そして${\displaystyle {\widetilde {p}}_{4}=0.02}$仮説のみ${\displaystyle H_{1}}$そして${\displaystyle H_{4}}$レベルで拒否される${\displaystyle \alpha =0.05}$。

Holm-Šidák法の同様の調整済みp値は、以下のように再帰的に定義できます。${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max \left\{{\widetilde {p}}_{(i-1)},1-(1-p_{(i)})^{m-i+1}\right\}}$、 どこ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(1)}=1-(1-p_{(1)})^{m}}$不平等のため${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/n}<\alpha /n}$のために${\displaystyle n\geq 2}$ホルム・シダック法は、ホルム・ボンフェローニ法よりも強力になるだろう。

加重調整済みp値は以下のとおりです。

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{{\frac {\sum _{k=j}^{m}{w_{(k)}}}{w_{(j)}}}p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

仮説は、調整済みp値がα未満である場合に限り、有意水準αで棄却されます。先に挙げた等しい重み付けを用いた例では、調整済みp値は0.03、0.06、0.06、0.02でした。これは、α = 0.05を用いると、仮説1と仮説4のみがこの手順で棄却されることを示す別の方法です。