一様に最も強力なテスト

統計的仮説検定において、一様に最も強力な（UMP）検定とは、最も高い検出力を持つ仮説検定のことである。${\displaystyle 1-\beta }$与えられたサイズαのすべての可能な検定の中で。たとえば、ネイマン・ピアソン補題によれば、尤度比検定は単純な（点）仮説を検定するための UMP である。

させて${\displaystyle X}$は、パラメータ化された確率密度関数または確率質量関数の族から抽出された、（測定値に対応する）ランダムベクトルを表す。${\displaystyle f_{\theta }(x)}$これは未知の決定論的パラメータに依存する。${\displaystyle \theta \in \Theta }$パラメータ空間${\displaystyle \Theta }$互いに素な2つの集合に分割される$\displaystyle \Theta _{0}}$そして$\displaystyle \Theta _{1}}$。 させて${\displaystyle H_{0}}$という仮説を表す$\displaystyle \theta \in \Theta _{0}}$、そして${\displaystyle H_{1}}$という仮説を表す$\displaystyle \theta \in \Theta _{1}}$二項仮説検定は検定関数を用いて実行される。${\displaystyle \varphi (x)}$拒否領域付き${\displaystyle R}$（測定空間の部分集合）。

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in R\\0&{\text{if }}x\in R^{c}\end{cases}}}$

つまり${\displaystyle H_{1}}$測定が有効な場合${\displaystyle X\in R}$そしてそれは${\displaystyle H_{0}}$測定が有効な場合${\displaystyle X\in R^{c}}$。 ご了承ください${\displaystyle R\cup R^{c}}$これは、測定空間の互いに素な被覆である。

テスト関数${\displaystyle \varphi (x)}$UMPのサイズは${\displaystyle \alpha }$その他のテスト機能の場合${\displaystyle \varphi '(x)}$満足

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ]\,}$

我々は持っています

${\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=1-\beta '(\theta )\leq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ].}$

カーリン・ルービン定理（サミュエル・カーリンとヘルマン・ルービンにちなんで命名）は、複合仮説に対するネイマン・ピアソン補題の拡張とみなすことができる。^{[ 1 ]}スカラーパラメータθでパラメータ化された確率密度関数を持つスカラー測定を考え、尤度比を定義する。${\displaystyle l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)}$。 もし${\displaystyle l(x)}$は単調非減少であり、${\displaystyle x}$任意のペアについて${\displaystyle \theta _{1}\geq \theta _{0}}$（つまり、より大きな${\displaystyle x}$可能性が高いほど${\displaystyle H_{1}}$（そうであれば）、次に閾値テストを行います。

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle x_{0}}$は次のように選択される。${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha }$

UMP検定は、サイズαの検定です。${\displaystyle H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

まったく同じテストがテスト用のUMPでもあることに注意してください${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

カーリン・ルービン定理はスカラーパラメータとスカラー測定に限定されているため弱く見えるかもしれないが、実際にはこの定理が成り立つ問題が数多く存在する。特に、1次元指数型確率密度関数または確率質量関数は、

${\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))}$

十分統計量において単調非減少尤度比を持つ${\displaystyle T(x)}$ただし、${\displaystyle \eta (\theta )}$減少しない。

させて${\displaystyle X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})}$独立同分布正規分布を表す${\displaystyle N}$平均を持つ次元ランダムベクトル${\displaystyle \theta m}$共分散行列${\displaystyle R}$すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}}$

これは前のセクションで示した指数型分布族と全く同じ形式で、十分統計量は次のとおりである。

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

したがって、我々はテストが

${\displaystyle \varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha }$

UMPのサイズテストは${\displaystyle \alpha }$テスト用${\displaystyle H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}}$対${\displaystyle H_{1}:\theta >\theta _{0}}$

一般的に、UMP 検定はベクトルパラメータや両側検定 (一方の仮説が対立仮説の両側にある検定) には存在しません。その理由は、これらの状況では、パラメータの可能な値の 1 つ (たとえば、${\displaystyle \theta _{1}}$どこ${\displaystyle \theta _{1}>\theta _{0}}$）は、パラメータの異なる値（例：）に対する同じサイズの最も強力な検定とは異なります。${\displaystyle \theta _{2}}$どこ${\displaystyle \theta _{2}<\theta _{0}}$) その結果、これらの状況において常に最も強力な検定法は存在しない。

• Ferguson, TS (1967). 「第 5.2 節:一様に最も強力な検定」.数理統計学: 決定理論的アプローチ. ニューヨーク: Academic Press.
• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). 「第 IX.3.2 節:一様に最も強力な検定」.統計理論入門(第 3 版). ニューヨーク: McGraw-Hill.
• LL Scharf、『統計的信号処理』、Addison-Wesley、1991年、第4.7節。