ランダムな密集

球体のランダム密充填（RCP ）は、固体物体をランダムに充填した際に得られる最大体積率を特徴づける経験的パラメータです。例えば、固体容器に穀物を詰めた状態で容器を振ると、物体が占める体積が減り、さらに多くの穀物を容器に入れることができます。つまり、振ることで充填された物体の密度が増加するのです。しかし、振ることで密度を無限に増加させることはできず、限界に達します。規則的な結晶格子のような明確な規則構造への充填が見られない状態でこの限界に達した場合、それがこの特定の充填手順における経験的なランダム密充填密度となります。ランダム密充填は、あらゆる充填手順の中で可能な限り最大の体積率です。

実験とコンピュータシミュレーションにより、同じサイズの完全な硬球をランダムに詰める最もコンパクトな方法では、最大体積率が約 64% となり、容器の体積の約 64% が球で占められることが示されています。球のランダム密充填を理論的に予測する問題は、ランダム性または無秩序の一意の定義がないことが主な理由で困難です。^{[ 1 ]}ランダム密充填の値は、同じサイズの硬球を規則的な結晶配列に最大で密充填できる値である 74.04% を大幅に下回ります。^{[ 2 ]}面心立方格子 (fcc)と六方最密充填格子 (hcp) の両方の結晶格子は、粒状結晶化のプロセスによって発生するこの上限に等しい最大密度を持っています。

平面内の円盤のランダムな密充填率も、同様の困難さから理論的に未解決の問題と考えられてきた。この問題に対する解析的解は、閉じた形式ではないものの、2021年にR. Blumenfeldによって発見された。^{[ 3 ]}この解は、秩序だったクラスターの成長確率を指数関数的に小さく制限し、それを連結した円盤に囲まれた最小の空隙である「セル」の分布に関連付けることによって発見された。六角格子クラスターのみを除外した場合、導出された最大体積率は85.3542%であり、変形した正方格子クラスターも除外した場合、85.2514%となる。

2D および 3D の機械的に安定な球体のランダム充填の両方について、解析的かつ閉形式の解がA. Zacconeによって2022 年に発見されました。これは、最もランダムなジャミング状態の分岐 (fcc 最密充填まで拡張された最大ランダムジャミング充填) が平衡液体と質的に類似した方法で混雑するという仮定に基づいています。^{[ 4 ] [ 5 ]}この解の有効性の理由は、現在も議論の対象となっています。^{[ 6 ]}

球体のランダム密充填には、まだ正確な幾何学的定義がありません。統計的に定義され、結果は経験的です。容器に物体をランダムに充填し、物体がそれ以上圧縮されなくなるまで容器を振ったり叩いたりします。この時点で充填状態は RCP です。充填率の定義は、「与えられた体積の空間内の粒子の数によって占められる体積」として与えられます。言い換えれば、充填率は充填密度を定義します。充填率は飽和密度に達するまで叩く回数とともに増加することが示されています。^{[ 7 ] [ 8 ]}また、飽和密度は叩く振幅が減少するにつれて増加します。したがって、RCP は叩く振幅がゼロに近づく極限と、叩く回数が無限大に近づく極限によって与えられる充填率です。

RCP における粒子体積分率は、充填される物体に依存します。物体が多分散である場合、体積分率はサイズ分布に非自明に依存し、サイズ分布の標準偏差が非常に大きい極限では 1 に任意に近づくことができます。実際には、利用可能な解析解と数値シミュレーションは、標準偏差の値が大きい場合、体積分率が 0.96 ～ 0.99 で飽和プラトーを示します。^{[ 9 ] [ 10 ]}ただし、（比較的）単分散の物体の場合、RCP の値は物体の形状に依存します。球体の場合は 0.64、M&M'sキャンディの場合は 0.68 です。^{[ 11 ]}

中身がゆるく詰められた製品には、「輸送中に内容物が沈殿する場合があります」というメッセージが表示されることがよくあります。通常、輸送中は容器が何度も揺れるため、梱包密度が高くなります。このメッセージは、容器が少し空に見えても、質量ベースでは満杯であることを消費者に保証するために追加されています。粒子が詰められたシステムは、多孔質媒体の基本モデルとしても使用されます。

• 等しい球体の密充填
• 球体充填
• 円筒球状充填

• Jaeger, HM; Nagel, SR (1992). "粒状状態の物理学". Science . 255 (5051): 1523–31 . Bibcode : 1992Sci...255.1523J . doi : 10.1126 /science.255.5051.1523 . PMID 17820163. S2CID 44568820 .  
• Donev, A.; Cisse, Ibrahim; Sachs, David; Variano, Evan A.; Stillinger, Frank H.; Connelly, Robert; Torquato, Salvatore; Chaikin, PM (2004). "楕円体を用いたジャミングした不規則充填の密度の向上". Science . 303 (5660): 990– 993. Bibcode : 2004Sci...303..990D . CiteSeerX 10.1.1.220.1156 . doi : 10.1126/science.1093010 . PMID 14963324 . S2CID 33409855 .