スペッケンズのおもちゃモデル

スペケンズのトイモデルは、ロバート・スペケンズが2004年に量子力学の認識論的見解を支持するために導入した、概念的に単純なトイの 隠れた変数理論である。このモデルは、「最大限の知識を持っている場合、すべてのシステムについて、すべての時点で、その時点でのシステムの存在状態について持っている知識の量は、欠けている知識の量と等しくなければならない」という基本原理に基づいている。^[1]これは「知識バランス原理」と呼ばれている。このモデルの範囲内では、厳密に量子力学的効果に典型的に関連付けられる多くの現象が存在する。これらには、エンタングルメント、測定の非可換性、テレポーテーション、干渉、非複製定理および非ブロードキャスト定理、およびアンシャープ測定が含まれるが、これらに限定されない。ただし、トイモデルは局所的で非文脈的な隠れた変数理論であるため、 量子非局所性および量子文脈性を再現することはできない。

ほぼ 1 世紀にわたって、物理学者と哲学者は量子状態の物理的意味を説明しようと試みてきた。議論は典型的には、根本的に相反する 2 つの見解の間で繰り広げられる。1 つは量子状態を物理的現実の状態として説明する存在論的見解、もう 1 つは量子状態をシステムに関する不完全な知識の状態として説明する認識論的見解である。どちらの見解も長年にわたって強力な支持を得ており、特に、存在論的見解はハイゼンベルクとシュレーディンガーによって支持され、認識論的見解はアインシュタインによって支持された。20 世紀の量子物理学の大部分は存在論的見解によって支配され、今日でも物理学者に一般的に受け入れられている見解である。しかし、認識論的見解を取る物理学者も相当数存在する。どちらの見解にも問題があり、多くの場合どちらも物理的な直観と矛盾し、どちらも優れた見解であると決定的に証明されていない。

スペッケンズのおもちゃのモデルは、認識論的観点を支持するために設計されている。これは、構造上、認識論的モデルである。このモデルの知識バランス原理は、そのモデル内のシステムに対して行われた測定は、システムに関する不完全な知識を与えること、したがってシステムの観測可能な状態は認識論的であることを保証する。このモデルはまた、システムが任意の時点でオンティック状態にあることを暗黙的に仮定しているが、単にそれを観測することはできない。このモデルは量子力学を導くために使用することはできない。なぜなら、このモデルと量子論の間には根本的な違いがあるからである。特に、このモデルは局所的かつ非文脈的変数の 1 つであり、ベルの定理によれば、量子力学のすべての予測を再現することはできない。しかし、おもちゃのモデルは、いくつかの奇妙な量子効果を、厳密に認識論的観点から再現する。そのため、おもちゃのモデルは認識論的見解を支持する強力な証拠として解釈することができる。

スペッケンズのおもちゃモデルは、知識バランスの原則「システムの物理的状態に関する質問のうち、回答されている質問の数は、最大限の知識の状態では、常に回答されていない質問の数と等しくなければならない」に基づいています。^{[1]しかし、この原則が意味を持つためには、}システムについて人が持つことができる「知識」を注意深く定義する必要があります。これを行うには、必要な質問の最小数として、はい/いいえの質問の標準的なセットの概念を定義します。たとえば、4 つの状態を持つシステムの場合、「システムは状態 1 ですか?」、「システムは状態 2 ですか?」、「システムは状態 3 ですか?」と尋ねることができ、これによりシステムの状態が決定されます (3 つの質問すべてに「いいえ」と答えた場合は、状態 4 になります)。ただし、「システムは状態 1 と状態 2 のどちらですか?」と「システムは状態 1 と状態 3 のどちらですか?」と尋ねることもできます。これにより、状態が一意に決定され、セットには 2 つの質問しかありません。この一連の質問は一意ではありませんが、4 つの状態のうち 1 つを正確に表すには少なくとも 2 つの質問 (ビット) が必要であることは明らかです。4 つの状態を持つシステムの場合、標準セット内の質問の数は 2 であると言えます。したがって、この場合、知識バランスの原則では、任意の時点で回答できる標準セット内の質問の最大数は 1 であり、知識の量は無知の量に等しいと主張しています。

また、モデルでは、不等式を飽和させること、つまり、システムに関する知識が不足している知識と正確に等しくなることが常に可能であると想定されているため、標準セットには少なくとも 2 つの質問が含まれている必要があります。システムの状態を正確に指定する質問は許可されていないため、可能なオンティック状態の数は少なくとも 4 である必要があります (4 未満の場合、モデルは自明になります。これは、尋ねられる可能性のあるすべての質問がシステムの正確な状態を指定する回答を返す可能性があるため、質問できないためです)。4 つの状態 (上記) を持つシステムが存在するため、これは基本システムと呼ばれます。モデルでは、すべてのシステムがこれらの基本システムから構築され、すべてのシステムの各サブシステムも知識バランスの原則に従うことも想定しています。

基本システムの場合、1 ∨ 2 は「システムが状態 1 または状態 2 にある」という知識の状態を表します。このモデルでは、1 ∨ 2、1 ∨ 3、1 ∨ 4、2 ∨ 3、2 ∨ 4、3 ∨ 4 の 6 つの最大知識状態が得られます。また、1 ∨ 2 ∨ 3 ∨ 4 に対応する、最大知識未満の単一の状態もあります。これらは、自然な方法で 6 つの量子ビット状態にマッピングできます。

${\displaystyle 1\lor 2\iff |0\rangle ,}$

${\displaystyle 3\lor 4\iff |1\rangle ,}$

${\displaystyle 1\lor 3\iff |+\rangle ,}$

${\displaystyle 2\lor 4\iff |-\rangle ,}$

${\displaystyle 1\lor 4\iff |i\rangle ,}$

${\displaystyle 2\lor 3\iff |-i\rangle ,}$

${\displaystyle 1\lor 2\lor 3\lor 4\iff I/2.}$

このマッピングによれば、おもちゃの理論における 2 つの知識状態が、共通のオンティック状態を持たない場合に限り、量子ビットの2 つの直交状態に対応することは明らかである。このマッピングは、おもちゃのモデルにおける量子忠実度、互換性、状態の凸結合、およびコヒーレントな重ね合わせの類似点も与え、自然な形でブロッホ球にマッピングすることができる。しかし、コヒーレントな重ね合わせを考慮すると、この類似点はある程度崩れる。おもちゃのモデルにおけるコヒーレントな重ね合わせの形式の 1 つは、量子モデルにおける対応する重ね合わせで予想されるものと直交する状態を返すため、この 2 つのシステム間の本質的な違いであることが示される。これは、このモデルが量子力学の制限されたバージョンではなく、量子特性を模倣する別のモデルであるという前述の点を補強するものである。^{[引用が必要]}

知識バランスの原則を尊重するシステムのオンティック状態に対する唯一の変換は、 4 つのオンティック状態の順列です。これらは、有効な認識状態を他の有効な認識状態にマッピングします (順列を表すためにサイクル表記法を使用)。

${\displaystyle ((12)(34))(1\lor 2)\to 1\lor 2,}$

${\displaystyle ((12)(34))(1\lor 3)\to 2\lor 4,}$

${\displaystyle ((12)(3)(4))(1\or 3)\to 2\lor 3.}$

このモデルの認識論的状態とブロッホ球面上の量子ビット状態との類似性を再度考慮すると、これらの変換は、6 つの類似状態の典型的な許容される順列と、連続量子ビットモデルで禁止されている順列のセットから構成されます。これらは、ヒルベルト空間上の反ユニタリー写像に対応する (12)(3)(4) などの変換です。これらは連続モデルでは許可されていませんが、この離散システムでは自然な変換として発生します。ただし、許容される変換は普遍的な状態インバーターとして機能しないという、量子現象に特有の類似性があります。この場合、これは、次の特性を持つ 単一の変換Sが存在しないことを意味します。

${\displaystyle S(1\lor 2)\to 3\lor 4,\qquad S(3\lor 4)\to 1\lor 2,}$

${\displaystyle S(1\lor 3)\to 2\lor 4,\qquad S(2\lor 4)\to 1\lor 3,}$

${\displaystyle S(1\lor 4)\to 2\lor 3,\qquad S(2\lor 3)\to 1\lor 4.}$

理論では、再現可能な測定（測定後のシステムが測定結果と一致するような測定）のみが考慮される。したがって、有効な認識状態を区別する測定のみが許可される。たとえば、システムが状態 1 または 2、1 または 3、または 1 または 4 のいずれにあるかを測定できる。これは、1 ∨ 2、1 ∨ 3、および 1 ∨ 4 に対応する。測定が完了すると、問題のシステムに関する知識の状態が更新される。具体的には、システムを状態 2 ∨ 4 で測定した場合、システムはオンティック状態 2 またはオンティック状態 4 にあることが分かる。

測定が行われる前のシステムは、基本システム 1、2、3、または 4 の場合、明確なオンティック状態を持っています。システムの初期オンティック状態が 1 で、{1 ∨ 3、2 ∨ 4} 基底に関してシステムの状態を測定すると、状態 1 ∨ 3 が測定されます。この基底で別の測定を行うと、同じ結果が得られます。ただし、システムの根本的なオンティック状態は、このような測定によって状態 1 または状態 3 のいずれかに変更できます。これは、量子論における測定の性質を反映しています。

トイモデルのシステムで行われる測定は、量子測定の場合と同様に非可換です。これは、測定によってシステムの根本的なオンティック状態が変化する可能性があるという上記の事実によるものです。たとえば、{1 ∨ 3, 2 ∨ 4} 基底で状態 1 ∨ 3 のシステムを測定すると、確実に状態 1 ∨ 3 が得られます。ただし、最初に {1 ∨ 2, 3 ∨ 4} 基底でシステムを測定し、次に {1 ∨ 3, 2 ∨ 4} 基底でシステムを測定すると、測定前のシステムの最終状態は不確実になります。

この理論における測定とコヒーレントな重ね合わせの性質は、干渉という量子現象も引き起こします。2 つの状態がコヒーレントな重ね合わせによって混合されると、結果は典型的な「および」または「または」ではなく、両方のオンティック状態のサンプリングになります。これはこのモデルの最も重要な結果の 1 つです。干渉は、しばしば認識論的見解に反する証拠と見なされるからです。このモデルは、干渉が厳密に認識論的なシステムから発生する可能性があることを示しています。

一対の基本システムには、1 から 4 までの数字と 1 から 4 までの組み合わせに対応する16 の結合オンティック状態があります (つまり、システムは状態 (1,1)、(1,2) などになります)。システムの認識論的状態は、ここでも知識バランス原理によって制限されます。ただし、今度はシステム全体の知識だけでなく、構成サブシステムの両方の知識も制限されます。その結果、2 種類の最大知識システムが発生します。最初のシステムは、両方のサブシステムについて最大限の知識を持っていることに対応します。たとえば、最初のサブシステムは状態 1 ∨ 3 にあり、2 番目のサブシステムは状態 3 ∨ 4 にある場合、システム全体が状態 (1,3)、(1,4)、(3,3)、または (3,4) のいずれかにあることを意味します。この場合、2 つのシステム間の対応については何もわかっていません。2 番目はより興味深く、どちらのシステムについても個別には知識がないが、それらの相互作用について最大限の知識を持っていることに対応します。たとえば、システムの存在状態が (1,1)、(2,2)、(3,4)、(4,3) のいずれかであることを知ることができます。ここでは、個々のシステムの状態については何もわかっていませんが、1 つのシステムに関する知識は他のシステムに関する知識を与えます。これは、量子論における粒子のエンタングルメントに対応します。

基本システムのグループの状態に対する有効な変換を考慮することは可能ですが、そのような分析の数学は単一のシステムの場合よりも複雑です。独立して動作する各状態に対する有効な変換で構成される変換は常に有効です。2 システム モデルの場合、量子ビットのc-not演算子に類似した変換もあります。さらに、モデルの範囲内で、非複製定理と非ブロードキャスト定理を証明することができ、量子情報理論 のメカニズムのかなりの部分を再現できます。

純粋な エンタングルメントのモノガミーは、トイ モデル内にも強い類似点があります。3 つ以上のシステムのグループで、1 つのシステムの知識が他のシステムの知識を与えると、知識バランスの原則が破られるからです。量子テレポーテーションの類似点も、いくつかの重要な量子現象と同様に、モデル内に存在します。

連続位相空間と高次元離散位相空間の両方に拡張されたおもちゃのモデルは、文献^{[2]で「エピストリクト理論」と呼ばれています。}

同様の特性を持つ物理システムのモデルがいくつか研究されており、このモデルに関する主要な出版物^{[1]で詳細に説明されています。ファン・エンクのモデル[3]や}リウヴィル力学に基づく連続変数バージョンなど、さまざまな方法でこのモデルを拡張する試みが進行中です。^{[4]このおもちゃのモデルは、}カテゴリカル量子力学の観点からも分析されています。^[5]

現在、情報理論的公理から量子形式主義を再現する研究が行われている。モデル自体は量子理論とは多くの点で異なるが、圧倒的に量子的であると考えられる多くの効果を再現する。したがって、量子状態は不完全な知識の状態であるという基本原理は、この方法でどのように進めるかについていくつかのヒントを提供し、この目標を追求する人々に希望を与えるかもしれない。

• 隠れた変数理論
• 量子力学の解釈

• Ladina Hausmann、Nuriya Nurgalieva、Lídia del Rio (2021-05-07)。 「 Spekkensのおもちゃ理論の統合レビュー」。arXiv : 2105.03277 [quant-ph]。