半導体発光方程式

半導体発光方程式（SLE）^{[ 1 ] [ 2 ]}は、電子励起の自発的再結合によって生じる半導体の発光を記述し、自発的に放出される光の流れを生成します。この記述は、SLEが量子化された光と物質の相互作用と、半導体内の電子励起間のクーロン相互作用結合を同時に含んでいるため、半導体量子光学への第一歩を確立しました。SLEは、半導体における発光を記述する最も正確な方法の1つであり、励起子発光からレーザーまで、半導体発光の体系的なモデリングに適しています。

真空場のゆらぎのランダム性により、半導体発光は非干渉性であるが、SLEの拡張には、コヒーレントレーザー光による光ポンピングによって生じる共鳴蛍光を研究する可能性が含まれる^{[ 2 ]}。このレベルでは、高次の光子相関効果、異なる多体状態、および光と半導体のエンタングルメントを制御してアクセスすることに関心があることが多い。このような研究は、量子光学の一分野である量子光学分光法の分野を実現および発展させる基礎となる。

SLEの導出は、多体相互作用、量子化された光場、および量子化された光と物質の相互作用を完全に含むシステムハミルトニアンから始まります。多体物理学ではほぼ常にそうであるように、第二量子化形式を適用するのが最も便利です。たとえば、周波数に対応する光場${\displaystyle \omega }$ボソン生成消滅演算子によって記述される${\displaystyle {\帽子 {B}}_{\オメガ }^{\ダガー }}$そして${\displaystyle {\hat {B}}_{\omega }}$それぞれ、上の「帽子」${\displaystyle B}$は、量の演算子としての性質を示します。演算子の組み合わせ$\displaystyle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }\,{\hat {B}}_{\omega }}$光子数演算子を決定する。

光子のコヒーレンスが発生すると、ここで期待値は${\displaystyle \langle {\hat {B}}_{\omega }\rangle }$、消失し、システムは準定常状態になる。半導体は自発的に非干渉光を放出し、一般に発光（L）と呼ばれる。（これが発光ダイオードの背後にある基本原理である。）対応する発光束は光子数の時間的変化に比例する。^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {L} (\omega )={\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega }\rangle =2\,\mathrm {Re} \left[\sum _{\mathbf {k} }{\mathcal {F}}_{\omega }^{\star }\,\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }\right]\,.}$

その結果、発光は光子アシスト電子-正孔再結合によって直接生成される。

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }\equiv \Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {P}}_{\mathbf {k} }\rangle }$

光子の相関放出を記述する${\displaystyle ({\帽子 {B}}_{\オメガ }^{\ダガー })}$波数ベクトルを持つ電子の場合${\displaystyle \mathbf {k} }$ホール、つまり電子空孔と再結合する。ここで、$\displaystyle {\hat {P}}_{\mathbf {k} }}$対応する電子-正孔再結合演算子を決定し、半導体内の微視的な分極も定義する。したがって、${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }}$光子アシスト偏光とみなすこともできる。

多くの電子-正孔対が周波数での光子放出に寄与する${\displaystyle \omega }$明示的${\displaystyle \Delta }$表記法内${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }}$期待値の相関部分を表す${\displaystyle \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }P_{\mathbf {k} }\rangle }$クラスター展開法を用いて構築される。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }}$バンド間遷移の双極子行列要素、光モードのモード関数、および真空場振幅が含まれています。

一般的に、SLE （自己無撞着な発光スペクトル計算に必要なすべての単粒子および二粒子相関を含む）には、SLEが含まれます。より具体的には、体系的な導出により、光子数のような相関を含む一連の方程式が得られます。

その対角形式は上記のルミネセンス式に帰着する。光子アシスト相関のダイナミクスは以下から導かれる。

最初の貢献は、${\displaystyle {\チルダ {\epsilon }}_{\mathbf {k} }}$には、固体のバンド構造によって決定されるクーロン再規格化された単粒子エネルギーが含まれています。クーロン再規格化は半導体ブロッホ方程式（SBE）に現れるものと同一であり、すべての光子アシスト分極が遮蔽されていないクーロン相互作用を介して互いに結合していることを示しています。${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$現れる3粒子相関は、記号的に次のように示される。${\displaystyle T[\Pi ]}$寄与 – これらは励起誘起位相緩和、クーロン相互作用の遮蔽、およびフォノンサイドバンド放出などの追加の高度に相関した寄与を導入します。自然放出源の明示的な形式${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }}$そして刺激された貢献${\displaystyle \Omega _{\omega }^{\mathrm {stim} }}$以下で説明します。

半導体の励起レベルは、電子と正孔の占有によって特徴付けられます。${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$そして${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$それぞれ。${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }}$クーロン再規格化とパウリブロッキング因子を介して、${\displaystyle \left(1-f_{\mathbf {k} }^{e}-f_{\mathbf {k} }^{h}\right)}$これらの占有状態は電子と正孔の自発的な再結合によって変化し、

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {L} }=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {L} }=-2\,\mathrm {Re} \left[\sum _{\omega }{\mathcal {F}}_{\omega }^{\star }\,\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }\right]\,.}$

完全な形では、占有ダイナミクスにはクーロン相関項も含まれる。^{[ 2 ]}一般的な保存則により、光子アシスト再結合^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} は、光子を生成するのと同じ数の電子-正孔対を破壊することが容易に確認できる。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\sum _{\omega }\langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega }\rangle =-{\frac {\partial }{\partial t}}\sum _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }^{e}}$。

既に述べた用語に加えて、光子アシスト偏光ダイナミクスには自然放出源が含まれる。

${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }=\mathrm {i} {\mathcal {F}}_{\omega }{\Bigl (}f_{\mathbf {k} }^{e}f_{\mathbf {k} }^{h}+\sum _{\mathbf {k'} }c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }{\Bigr )}\,.}$

直感的に、${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}\,f_{\mathbf {k} }^{h}}$同じ電子と正孔を見つける確率を表します${\displaystyle \mathbf {k} }$電子と正孔が相関していない状態、すなわちプラズマ状態。このような形態は、2つの無相関事象が望ましいタイミングで同時に発生する確率に対して期待される。${\displaystyle \mathbf {k} }$値。真に相関した電子-正孔対が存在する可能性は、2粒子相関によって定義される。${\displaystyle c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$対応する確率は相関に正比例します。実際には、${\displaystyle c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$電子と正孔のペアが相互のクーロン引力によって励起子として結合すると、その値は大きくなる。しかしながら、電子・正孔プラズマと励起子のどちらも、同様に自然放出源を誘発する可能性がある。

半導体は自発的に発光するが、その発光は誘導放出によってさらに変化する。

${\displaystyle \Delta \Omega _{\omega }^{\mathrm {stim} }=\mathrm {i} \sum _{\omega '}{\mathcal {F}}_{\omega '}\,\Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega '}\rangle }$

これは、半導体マイクロキャビティやレーザーにおける自然放出を説明する際に特に重要です。なぜなら、自然放出された光が発光体（すなわち半導体）に戻り、さらなる自然放出プロセスを促進または抑制する可能性があるからです。この用語は、パーセル効果の原因でもあります。

SLEを完了するには、励起子相関の量子力学をさらに解く必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }=&\left({\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }-{\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k'} }\right)\,c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }+S_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\\&+{\Bigl (}1-f_{\mathbf {k'} }^{e}-f_{\mathbf {k'} }^{h}{\Bigr )}\sum _{\mathbf {l} }V_{\mathbf {l} -\mathbf {k} '}\,c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {l} }-{\Bigl (}1-f_{\mathbf {k} }^{e}-f_{\mathbf {k} }^{h}{\Bigr )}\sum _{\mathbf {l} }V_{\mathbf {l} -\mathbf {k} '}\,c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {l} ,\mathbf {k'} }\\&+D_{\mathrm {X,\,rest} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }+T_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\,.\end{aligned}}}$

最初の行には電子-正孔対のクーロン再規格化運動エネルギーが含まれ、2行目にはクーロン相互作用による2つの電子と2つの正孔のボルツマン型入射・出射によって生じるソースが定義されます。2行目には、励起条件が適切な場合に電子-正孔対を励起子に相関させる主要なクーロン和が含まれています。残りの2粒子および3粒子の相関は、記号的に次のように表されます。${\displaystyle D_{\mathrm {X,\,rest} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$そして${\displaystyle T_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$それぞれ。^{[ 2 ] [ 6 ]}

微視的に見ると、半導体が励起されるたびに発光プロセスが開始されます。これは、少なくとも自然放出源に入る電子と正孔の分布がゼロではないためです。その結果、${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }}$有限であり、すべての光子アシストプロセスを推進する${\displaystyle \mathbf {k} }$励起状態に対応する値。これはつまり、${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$多くのものに対して同時に生成される${\displaystyle \mathbf {k} }$値。クーロン相互作用は結合するため${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$すべてと共に${\displaystyle \mathbf {k} }$値では、特性遷移エネルギーは、電子-正孔対の裸の運動エネルギーではなく、励起子エネルギーから導かれます。より数学的に言えば、${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ダイナミクスには、自由キャリアエネルギーではなく、一般化ワニエ方程式によって定義される固有エネルギーが存在する。電子・正孔密度が低い場合、ワニエ方程式は励起子共鳴を定義する束縛固有状態の集合を生成する。

したがって、${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$自発放出源を介してどの多体状態が放出を開始したかに関わらず、離散的な励起子共鳴のセットを示します。これらの共鳴は、発光自体の励起子ピークに直接伝達されます。これにより、予期せぬ結果が生じます。励起子共鳴は、電子-正孔プラズマまたは励起子の存在から同様に発生する可能性があります。^{[ 7 ]}最初は、SLE のこの結果は直感に反するように思われます。なぜなら、少数粒子の描像では、束縛されていない電子-正孔ペアは再結合して励起子共鳴に対応するエネルギーを放出することができないからです。そのエネルギーは、束縛されていない電子-正孔ペアが持つエネルギーよりもはるかに低いからです。

しかし、励起子プラズマ発光は、プラズマが励起子共鳴に集団的に発光する真の多体効果です。つまり、多数の電子状態が単一の光子の放出に関与する場合、エネルギー保存則を破ることなく、励起子エネルギーの1つの光子と残りの多体状態（1つの電子-正孔対が除去されたもの）の間で、初期多体状態のエネルギーを常に分配することができます。クーロン相互作用は、このようなエネルギー再配置を非常に効率的に媒介します。エネルギーと多体状態の再配置の詳細な分析は、文献^{[ 2 ]に記載されています。}

一般的に、励起子プラズマ発光は、現代の半導体発光実験で観測される多くの非平衡発光特性を説明する。実際、励起子プラズマ発光の優位性は、量子井戸系^{[ 8 ]}と量子ドット系^{[ 9 ]}の両方で測定されている。励起子が豊富に存在する場合にのみ、励起子プラズマ発光の役割は無視できる。

構造的には、SLEは半導体ブロッホ方程式（SBE）に似ているが、${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$SBE内の微視的偏光と比較される。主な違いとして、${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$光子指数も持っている${\displaystyle \omega }$、そのダイナミクスは自発的に駆動され、3粒子相関に直接結合しています。技術的には、SLEは追加の要素があるため、SBEよりも数値的に解くのが困難です。${\displaystyle \omega }$自由度。しかし、SLE は、(低キャリア密度では) 発光を正確に計算するための唯一の方法、または (レーザー発振領域では) より便利な方法となることが多い。さらに、SLE は現象論的近似を必要とせずに完全な予測可能性をもたらすだけでなく、レーザー設計^{[ 10 ] [ 11 ]や不規則性研究[ 12 ]}などのより一般的な調査の体系的な出発点としても使用できる。

提示されたSLEの議論では、研究対象のシステムの次元やバンド構造は指定されていません。特定のシステムを分析する場合、多くの場合、関係する電子バンド、波数ベクトル、光子、および励起子の重心運動量の次元を明示的に含める必要があります。量子井戸および量子ワイヤーシステムについては参考文献^{[ 6 ] [ 13 ]}に、量子ドットシステムについては参考文献^{[ 4 ] [ 14 ] [ 15 ]}に、多くの明示的な例が示されています。

半導体では、フォノン補助電子-正孔再結合が起こると、基本励起子共鳴よりもはるかに低い周波数で複数の共鳴を示すこともあります。これらのプロセスは、光子、電子-正孔対、および格子振動、すなわちフォノンが相関する3粒子相関（またはそれ以上）で記述できます。フォノン補助相関のダイナミクスは、フォノンフリーSLEと似ています。励起子発光の場合と同様に、励起子フォノンサイドバンドも、電子-正孔プラズマまたは励起子のいずれかによって同様に開始できます。^{[ 16 ]}

SLEは半導体量子光学の体系的な出発点としても使用できます。^{[ 2 ] [ 17 ] [ 18 ]}最初のステップとして、2光子吸収相関も含めます。${\displaystyle \Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }{\hat {B}}_{\omega '}\rangle }$そして、より高次の光子相関効果へと進んでいきます。このアプローチは、共鳴蛍光効果の解析や、量子光学分光法の実現と理解に応用できます。

• 半導体光学におけるコヒーレント効果
• クラスター拡張アプローチ
• フォトルミネッセンス
• 量子光学分光法
• エリオットの公式
• 半導体レーザー理論

• Jahnke, F. (2012).半導体ナノ構造を用いた量子光学. Woodhead Publishing Ltd. ISBN 978-0857092328。
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• クリングシャーン、CF (2006)。半導体光学。スプリンガー。ISBN 978-3540383451。
• Kalt, H.; Hetterich, M. (2004).半導体とそのナノ構造の光学。Springer。ISBN 978-3540383451。