半導体ブロッホ方程式

半導体 ブロッホ方程式^{[ 1 ]} （SBEと略記）は、レーザーなどのコヒーレントな古典的光源によって励起された半導体の光応答を記述します。これらは完全な量子理論に基づいており、微視的な分極と電荷キャリア分布の量子力学に関する積分微分方程式の閉じたセットを形成します。^{[ 2 ] [ 3 ]} SBEは、古典的な電磁場と相互作用する2準位原子の励起ダイナミクスを記述する光学ブロッホ方程式との構造的類似性にちなんで名付けられました。原子アプローチを超える主な複雑さとして、SBEは、電荷間のクーロン力と格子振動と電子間の結合から生じる多体相互作用に対処する必要があります。

半導体の光応答は、その巨視的な分極を決定できれば得られる。${\displaystyle \mathbf {P} }$電場の関数として${\displaystyle \mathbf {E} }$それがそれを興奮させる。${\displaystyle \mathbf {P} }$そして微視的な偏光${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$は

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\演算子名 {cc} \;,}$

ここで、合計には結晶運動量が含まれる${\displaystyle \hbar {\mathbf {k} }}$すべての関連する電子状態。半導体光学では、通常、価電子帯と伝導帯間の遷移を励起します。この点で、${\displaystyle \mathbf {d} }$は伝導帯と価電子帯の間の双極子行列要素であり、${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$対応する遷移振幅を定義します。

SBEの導出は、自由粒子、クーロン相互作用、古典的な光と電子状態間の双極子相互作用、およびフォノン寄与を完全に含むシステムハミルトニアンから始まります。^{[ 3 ]}多体物理学 でほぼ常にそうであるように、適切なシステムハミルトニアンの後に第2量子化形式を適用するのが最も便利です。${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {システム} }}$が特定される。すると、関連する観測量の量子力学的ダイナミクスを導出することができる。${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ハイゼンベルクの運動方程式を用いることにより

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle =\langle [{\hat {\mathcal {O}}},{\hat {H}}_{\mathrm {システム} }]_{-}\rangle \;.}$

内部の多体相互作用により${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {システム} }}$観測可能なもののダイナミクス${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$新しい観測量と結合し、方程式の構造を閉じることができません。これは、クラスター展開アプローチなどのさまざまな方法で体系的に切り捨てることができる、よく知られたBBGKY階層問題です。^{[ 4 ]}

演算子レベルでは、微視的偏極は価電子帯と伝導帯間の単一の電子遷移に対する期待値によって定義される。第二量子化では、伝導帯電子はフェルミオン生成および消滅演算子によって定義される。$\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$そして$\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}}$それぞれ。類似の識別、すなわち、$\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$そして$\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}}$は価電子帯電子のために作られます。対応する電子のバンド間遷移は次のようになります。

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\ダガー }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \,,}$

電子を伝導帯から価電子帯へ移動させる際の遷移振幅を表す（${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }}$期間）またはその逆（${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$（用語）。同時に、電子分布は以下から生じる。

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.}$

電子空孔、すなわち正孔の分布を追跡することも便利です。

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}=1-\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle =\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\ダガー }\rangle }$

光励起過程によって価電子帯に残される電子。

光励起の量子力学は、SBEを構成する積分微分方程式をもたらします^{[ 1 ] [ 3 ]}

これらには再規格化されたラビエネルギーが含まれる。

${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} }=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}$

再規格化されたキャリアエネルギーも同様に

${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }=\varepsilon _{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}$

どこ${\displaystyle \varepsilon _{\mathbf {k} }}$は自由電子-正孔対のエネルギーに対応し、${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$はクーロン行列要素であり、ここでは搬送波ベクトルを用いて表される。${\displaystyle \mathbf {k} }$。

象徴的に示されている${\displaystyle \left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }}$寄与は多体相互作用による階層的結合に起因する。概念的には、${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$、${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$、 そして${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$これらは単粒子期待値であり、階層的結合は分極密度相関や分極フォノン相関などの二粒子相関に由来する。物理的には、これらの二粒子相関はクーロン相互作用の遮蔽、ボルツマン型散乱など、いくつかの非自明な効果をもたらす。${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$そして${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$フェルミ・ディラック分布、励起誘起位相緩和、および相関によるエネルギーのさらなる再規格化に向かう​​。

これらの相関効果はすべて、2粒子相関のダイナミクスも解くことで体系的に取り込むことができます。^{[ 5 ]}このレベルの洗練度では、SBEを使用して現象論的パラメータなしで半導体の光応答を予測することができ、SBEに非常に高い予測精度が与えられます。実際、SBEを使用して、半導体の利得スペクトルに関する正確な知識に基づいて適切なレーザー設計を予測することができます。SBEを使用して、束縛励起子などの相関の存在を定量的測定から推論することさえできます。^{[ 6 ]}

提示されたSBEは運動量空間で定式化されており、キャリアの結晶運動量は以下から導かれる。${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$位置空間でも同等の方程式を定式化できる。^{[ 7 ]}ただし、特に相関計算は運動量空間で行う方がはるかに簡単である。

の${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$動態は、個人が${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$クーロン相互作用により、他のすべての微視的分極と結合する${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$したがって、遷移振幅${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$他の遷移振幅の存在によって集合的に修正される。${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ゼロにすると、各内部で孤立した遷移が見つかる。${\displaystyle {\mathbf {k} }}$光学ブロッホ方程式が予測するのと全く同じダイナミクスに従う状態。したがって、クーロン相互作用はすでに${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$単純な原子における光遷移とは異なる、新たな固体状態効果を生み出す。

概念的には、${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$は、電子を価電子帯から伝導帯へ励起するための遷移振幅にすぎません。同時に、${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$動力学は、一般化されたワニエ方程式で表現できる固有値問題を生じさせる。ワニエ方程式の固有状態は、量子力学の水素問題の束縛解に類似している。これらはしばしば励起子解と呼ばれ、形式的には反対の電荷を持つ電子と正孔によるクーロン結合を記述する。

しかし、真の励起子は真の二粒子相関であり、電子と正孔の間に相関がなければならない。したがって、偏光に励起子共鳴が現れることは励起子の存在を意味するものではない。${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$は単一粒子遷移振幅です。励起子共鳴は、システム内で可能なすべての遷移間のクーロン結合の直接的な結果です。言い換えれば、単一粒子遷移自体がクーロン相互作用の影響を受けるため、真の励起子が存在しない場合でも、光応答で励起子共鳴を検出することが可能になります。^{[ 8 ]}

そのため、光共鳴を励起子共鳴ではなく励起子icと表記するのが一般的である。光応答に対する励起子の実際の役割は、励起子共鳴の線幅とエネルギーシフトに誘起される定量的変化によってのみ推測できる。^{[ 6 ]}

ワニエ方程式の解は、半導体の光応答の基本特性に関する貴重な知見をもたらします。特に、SBEの定常状態解を解くことで、いわゆるエリオット式を用いて光吸収スペクトルを解析的に予測できます。この式を用いることで、励起されていない半導体が、基本バンドギャップエネルギーよりもはるかに低いエネルギー領域に複数の励起子吸収共鳴を示すことを検証できます。当然ながら、この状況は励起子をプローブしているとは言えません。なぜなら、初期の多体システムにはそもそも電子と正孔が含まれていないからです。さらに、原理的には、プローブを非常に穏やかに行うことで、実質的に電子-正孔対を励起することはありません。この思考実験は、遷移振幅間のクーロン結合のおかげで、システムに励起子が存在しないにもかかわらず励起子共鳴を検出できる理由をうまく示しています。

SBE（自己無撞着方程式）は、半導体構造における光伝搬を解析する際に特に有用です。この場合、SBEと、光偏光によって駆動されるマクスウェル方程式を一緒に解く必要があります。この自己無撞着な方程式系はマクスウェル-SBEと呼ばれ、現代の実験解析やデバイス設計のシミュレーションに頻繁に用いられています。

このレベルでは、SBE は励起子効果、伝搬効果、半導体マイクロキャビティ効果、四光波混合、半導体マイクロキャビティ内のポラリトン、利得分光法など、線形および非線形現象を記述する非常に汎用性の高い方法を提供します。^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]}また、通常バンド内遷移と共鳴するテラヘルツ (THz) 場による励起を含めることで SBE を一般化することもできます。 ^{[ 5 ]}また、光場を量子化して、結果として生じる量子光学効果を調べることもできます。この場合、SBE は半導体発光方程式と結合します。

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• 半導体レーザーの非線形理論

• アシュクロフト、ニール・W.、マーミン、N・デイビッド（1976）。固体物理学。ホルト・ラインハート・アンド・ウィンストン。ISBN 978-0-03-083993-1。
• Shah, J. (1999).半導体および半導体ナノ構造の超高速分光法（第2 版）. Springer. ISBN 978-3-540-64226-8。
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