ユニモジュラー格子

幾何学と数学の群論において、ユニモジュラ格子は行列式が 1 または -1の整格子である。n次元ユークリッド空間 の格子の場合、これは格子の任意の 基本領域の体積が1 であることを要求するのと同等である。

E ₈格子とLeech 格子は 2 つの有名な例です。

• 格子は対称双線型形式(·, ·)を持つ有限階数の自由アーベル群です。
• (·,·) が整数値を取る場合、格子は整列している。
• 格子の次元はその階数（Zモジュールとして）と同じです。
• 格子要素aのノルムは( a , a )である。
• すべての非ゼロ要素のノルムが正の場合、格子は正定値です。
• 格子の行列式は、要素a _{i が}格子の基底を形成する、要素 ( a _i、a _j ) を持つ行列であるグラム行列の行列式です。
• 積分格子は、その行列式が 1 または -1 の場合にユニモジュラです。
• ユニモジュラ格子は、すべてのノルムが偶数の場合は偶数またはタイプ IIであり、そうでない場合は奇数またはタイプ Iです。
• 正定値格子の最小値は、最も低い非ゼロノルムです。
• 格子は、対称双線形形式の実 ベクトル空間に埋め込まれることが多い。格子のベクトル空間が正定値、ローレンツなどであれば、格子は正定値 、ローレンツ などとなる。
• 格子のシグネチャはベクトル空間上の形式のシグネチャです。

ユニモジュラー格子の最も重要な 3 つの例は次のとおりです。

• 1次元の格子Z 。
• E ₈格子は8次元の格子であり、
• リーチ格子、根を持たない 24 次元の偶ユニモジュラー格子。

整格子は、その双対格子が整である場合にのみユニモジュラです。ユニモジュラ格子は双対格子と等しいため、ユニモジュラ格子は自己双対とも呼ばれます。

非負整数のペア ( m , n ) が与えられたとき、シグネチャ ( m , n )の偶ユニモジュラ格子は、m − nが 8 で割り切れる場合のみ存在しますが、シグネチャ ( m , n )の奇ユニモジュラ格子は常に存在します。特に、偶ユニモジュラ定値格子は、8 で割り切れる次元にのみ存在します。すべての許容シグネチャの例は、それぞれII _m,nおよびI _m,n構成で示されます。

ユニモジュラー正定値格子のシータ関数は、重みが階数の半分であるモジュラー形式です。格子が偶数の場合、形式はレベル 1 を持ち、格子が奇数の場合、形式は Γ ₀ (4) 構造を持ちます (つまり、レベル 4 のモジュラー形式です)。モジュラー形式の空間の次元の境界により、偶数ユニモジュラー格子の非ゼロベクトルの最小ノルムは ⎣ n /24⎦ + 1 以下です。この境界を満たす偶数ユニモジュラー格子は極限と呼ばれます。極限偶数ユニモジュラー格子は、80 次元までの関連次元で知られています^[1] 。163,264 を超える次元では存在しないことが証明されています^[2]。

不定格子の場合、分類は簡単に記述できる。m + n次元ベクトル空間R m + n をR m , n と書き、(  a  ¹ , ... ^{, a} m + n ^)と( b 1 , _... ,  b _{m + n} )の_内積は 次 _のように表される。

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{m}b_{m}-a_{m+1}b_{m+1}-\cdots -a_{m+n}b_{m+n}.\,}$

R ^{m , n}には、同型を除いて奇不定ユニモジュラー格子が1つ存在し、

私は、 _m、n、

これは、 R ^m、n内のすべてのベクトル ( a ₁、...、a _{m + n} )とすべてのa _i整数によって与えられます。

不定偶ユニモジュラー格子は存在しない。

m − n は8で割り切れる、

この場合、同型性を除いて唯一の例があり、

II _ｍ、ｎ。

これは、 R ^m、n内のすべてのベクトル ( a ₁、...、a _{m + n} )によって与えられ、すべてのa _{i が} 整数であるか、すべて整数プラス 1/2 であり、それらの合計が偶数になります。格子II _8,0はE ₈格子と同じです。

正定値ユニモジュラー格子は次元 25 まで分類されています。8 未満の各次元nには一意の例I _{n ,0があり、次元 8 には 2 つの例 (} I _8,0とII _8,0 ) があります。格子の数は次元 25 (665 個) まで緩やかに増加しますが、次元 25 を超えると、スミス-ミンコフスキー-シーゲルの質量公式により、その数は次元とともに非常に急速に増加します。たとえば、次元 32 では 80,000,000,000,000,000 以上になります。

ある意味では、9 次元までのユニモジュラー格子はE ₈によって制御され、25 次元まではリーチ格子によって制御され、これがこれらの次元での異常に良好な動作を説明しています。たとえば、 25 次元までのユニモジュラー格子のノルム 2 ベクトルのDynkin 図は、リーチ格子のベクトルの構成と自然に同一視できます。25 次元を超えると数が急増するのは、これらの格子がリーチ格子によって制御されなくなるためと考えられます。

正定値ユニモジュラー格子でさえ、8 で割り切れる次元にしか存在しません。8 次元には 1 つ ( E ₈格子)、16 次元には 2 つ ( E ₈ ²およびII _16,0 )、24 次元には 24 の格子があり、これらはニーマイヤー格子と呼ばれます(例:リーチ格子、II _24,0、II _16,0  +  II _8,0、II _8,0 ³ )。24 次元を超えると、その数は急激に増加し、32 次元では 10 億を超えます。

根を持たないユニモジュラー格子（ノルム 1 または 2 のベクトル）は、次元 28 まで分類されています。23 未満の次元はありません（ゼロ格子を除く）。次元 23 には 1 つ（短リーチ格子と呼ばれる）、次元 24 には 2 つ（リーチ格子と奇リーチ格子と呼ばれる）あり、Bacher と Venkov (2001) は、次元 25、26、27、28 にはそれぞれ 0、1、3、38 があることを示しました。これを超えると、その数は急激に増加し、次元 29 には少なくとも 8000 個あります。十分に高い次元では、ほとんどのユニモジュラー格子に根はありません。

32 次元未満で根を持たない、正定値均一ユニモジュラー格子の唯一の非ゼロ例は、次元 24 のリーチ格子です。次元 32 では 1000 万を超える例があり、次元 32 を超えると、その数は急速に増加します。

(King 2003) の次の表は、さまざまな次元における偶数または奇数のユニモジュラー格子の数 (または下限) を示しており、次元 24 を過ぎるとすぐに非常に急速な増加が始まることを示しています。

32 次元を超えると、その数はさらに急速に増加します。

閉じた単連結な有向位相4 次元多様体の2 番目のコホモロジー群はユニモジュラ格子です。 マイケル・フリードマンは、この格子が多様体をほぼ決定することを示しました。つまり、各偶数ユニモジュラ格子に対してそのような多様体が 1 つだけ存在し、各奇数ユニモジュラ格子に対してちょうど 2 つ存在します。特に、格子を 0 とすると、4 次元位相多様体に対するポアンカレ予想が成立します。ドナルドソンの定理によれば、多様体が滑らかで格子が正定値である場合、格子はZのコピーの合計でなければならないため、これらの多様体のほとんどは滑らかな構造を持ちません。その一例が多様体です。 ${\displaystyle E_{8}}$

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• Gabriele NebeとNeil Sloaneによるユニモジュラー格子のカタログ。
• OEISシーケンス A005134 (n 次元ユニモジュラー格子の数)