ジャック機能

数学において、ジャック関数はヘンリー・ジャックによって導入されたジャック多項式 の一般化である。ジャック多項式は、シュール多項式とゾーン多項式を一般化した同次対称多項式であり、さらにヘックマン・オプダム多項式とマクドナルド多項式によって一般化される。

ジャック機能${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$整数分割 の${\displaystyle \kappa }$、パラメータ${\displaystyle \alpha }$、そして議論${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$は、以下のように再帰的に定義できる。

m = 1 の場合

${\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}$

m > 1 の場合

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },}$

ここで、総和はすべての分割について行われる。${\displaystyle \mu }$歪んだ分割${\displaystyle \kappa /\mu }$水平方向の帯状部分、すなわち

${\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}$（$\displaystyle \mu _{n}}$ゼロでなければならない、そうでなければ$${\displaystyle J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0}$$） そして

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

どこ${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$等しい${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$もし${\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}$そして${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}$そうでなければ。表現${\displaystyle \kappa '}$そして${\displaystyle \mu '}$共役分割を参照する${\displaystyle \kappa }$そして${\displaystyle \mu }$それぞれ。表記法${\displaystyle (i,j)\in \kappa }$これは、積がすべての座標について取られることを意味します。${\displaystyle (i,j)}$ヤング図のパーティションのボックス${\displaystyle \kappa }$。

ジャック関数は、内積が次のようになる対称多項式の空間において直交基底を形成する。

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

この直交性は正規化の影響を受けません。上記で定義した正規化は、一般的にJ正規化と呼ばれます。C正​​規化は次のように定義されます。

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

どこ

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

のために${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$はしばしば次のように表される${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$そして、ゾーン多項式と呼ばれます。

Pの正規化は次の恒等式で与えられる。${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$、 どこ

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

どこ${\displaystyle a_{\lambda }}$そして${\displaystyle l_{\lambda }}$はそれぞれ腕と脚の長さを表します。したがって、${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$これは通常のシュール関数です。

Schur多項式と同様に、${\displaystyle P_{\lambda }}$ヤング表の和として表現できます。ただし、各表にパラメータに依存する追加の重みを加える必要があります。${\displaystyle \alpha }$。

したがって、ジャック関数の式^{[ 2 ]は次のようになる。}${\displaystyle P_{\lambda }}$は

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}$

ここで、合計は形状のすべてのタブローにわたって取られる。${\displaystyle \lambda }$、 そして${\displaystyle T(s)}$Tのボックスsのエントリを表します。

重量${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$は次のように定義できます。形状Tの各タブロー${\displaystyle \lambda }$分割のシーケンスとして解釈できる

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }$

どこ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$Tの内容iを持つ歪んだ形状を定義します。

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}$

どこ

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

そして製品はすべてのボックスsでのみ取得されます${\displaystyle \lambda }$sはボックスを持つ${\displaystyle \lambda /\mu }$同じ行にはあるが、同じ列にはない。

いつ${\displaystyle \alpha =1}$ジャック関数はシューア多項式のスカラー倍である

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

どこ

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

すべてのフックの長さの積は${\displaystyle \kappa }$。

パーティションの要素数が変数の数より多い場合、Jack関数は0になります。

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}$

一部のテキスト、特にランダム行列理論では、Jack関数で行列引数を使用する方が便利だと著者は考えている。その関係は単純だ。${\displaystyle X}$は固有値を持つ行列です ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$、 それから

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

• Demmel, James ; Koev, Plamen (2006)、「Schur関数とJack関数の正確かつ効率的な評価」、Mathematics of Computation、75 (253): 223–239、CiteSeerX 10.1.1.134.5248、doi : 10.1090/S0025-5718-05-01780-1、MR 2176397  。
• ジャック、ヘンリー（1970–1971）、「パラメータを持つ対称多項式のクラス」、エジンバラ王立協会紀要、セクションA.数学、69：1–18、MR 0289462 。
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (1997年3月19日)、「ジャック多項式の漸化式と組み合わせ公式」、Inventiones Mathematicae、128 (1): 9–22、arXiv : q-alg/9610016、Bibcode : 1997InMat.128....9K、doi : 10.1007/s002220050134、S2CID 7188322 
• Macdonald, IG (1995),対称関数とホール多項式、オックスフォード数学モノグラフ（第2 版）、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853489-1MR 1354144​ 
• Stanley, Richard P. (1989)、「ジャック対称関数のいくつかの組み合わせ特性」、Advances in Mathematics、77 (1): 76–115、doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7、MR 1014073 。

• Plamen KoevとAlan Edelmanによる、Jack関数を計算するためのソフトウェア。
• MOPS: 多変数直交多項式（記号による）（Mapleパッケージ） 2010年6月20日にWayback Machineにアーカイブされました
• SAGEにおけるJack対称関数のドキュメント