コストカ数

数学において、コストカ数 （コストカ数、Kostka number ）は、形状がで重さがである半標準ヤングの図の個数に等しい非負の整数である。コストカ数は、数学者カール・コストカが対称関数の研究で導入した（Kostka (1882)）。 ^[1]${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$

たとえば、およびの場合、コストカ数は、最初の行に 3、2 番目の行に 2 がある左揃えのボックスのコレクションに、数値 1 のコピー 1 つ、数値 2 のコピー 1 つ、数値 3 のコピー 2 つ、数値 4 のコピー 1 つを入れて、エントリが列に沿って増加し、行に沿って減少しないようにする方法の数を数えます。このような 3 つの表は、右とに示されています。 ${\displaystyle \lambda =(3,2)}$${\displaystyle \mu =(1,1,2,1)}$${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$${\displaystyle K_{(3,2)(1,1,2,1)}=3}$

任意の分割 について、コストカ数は1 に等しくなります。形状 のヤング図を1 のコピー、 2 のコピー、などを使用して埋める唯一の方法は、結果として得られるタブローが行に沿って弱増加し、列に沿って厳密に増加するようにするには、すべての 1 を最初の行に配置し、すべての 2 を 2 番目の行に配置する、などです。(このタブローは、形状 の山之内タブローと呼ばれることもあります。) ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle K_{\lambda \lambda}}$${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{m})}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle \lambda_{2}}$${\displaystyle \lambda}$

コストカ数が正である（つまり、形状と重さの半標準ヤング図が存在する）のは、と が両方とも同じ整数の分割であり、 が優勢順序より大きい場合に限られます。^[2]${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$

一般に、コストカ数に関する良い公式は知られていません。しかし、いくつかの特殊なケースは知られています。たとえば、 がすべての部分 1 である分割である場合、重さ の半標準ヤング盤は標準ヤング盤です。与えられた形状の標準ヤング盤の数は、フック長さの公式によって与えられます。 ${\displaystyle \mu =(1,1,\dotsc ,1)}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda}$

コストカ数の重要な単純な性質は、が の要素の順序に依存しないことである。たとえば、 である。これは定義からすぐには明らかではないが、 と の形状と重みの半標準ヤング表の集合間の一対一関係を確立することで示され、ここでと は2つの要素を入れ替えることによってのみ異なる。^[3]${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle K_{(3,2)(1,1,2,1)}=K_{(3,2)(1,1,1,2)}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$

上記の純粋に組み合わせ的な定義に加えて、これらはシューア多項式を 単項式対称関数の線形結合として表現するときに生じる係数として定義することもできます。 ${\displaystyle s_{\lambda}}$ ${\displaystyle m_{\mu}}$

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu },}$

ここで、と はともに の分割である。あるいは、シューア多項式は次のように も表される^[4]。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\alpha }K_{\lambda \alpha }x^{\alpha },}$

ここで、和はのすべての弱い合成 にわたっており、単項式 を表します。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{\alpha}}$${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\dotsc x_{n}^{\alpha _{n}}}$

対称群 の表現レベルでは、コストカ数はの分割である既約表現を用いて置換モジュールの分解を表現する。すなわち、 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle M_{\mu}}$ ${\displaystyle V_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \mu }V_{\lambda }.}$

一般線型群 の表現レベルでは、コストカ数は、ユニタリ既約表現（ここで、 とが最大で個の部分を持つことを要求する） におけるに対応する重み空間の次元も数えます。${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle U_{\lambda}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle d}$

サイズが最大 3 のパーティションの Kostka 数は次のとおりです。

${\displaystyle K_{\varnothing \varnothing }=1,}$

${\displaystyle K_{(1)(1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(2)(2)}=K_{(2)(1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(1,1)(2)}=0,\,K_{(1,1)(1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(3)(3)}=K_{(3)(2,1)}=K_{(3)(1,1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(2,1)(3)}=0,\,K_{(2,1)(2,1)}=1,\,K_{(2,1)(1,1,1)}=2,}$

${\displaystyle K_{(1,1,1)(3)}=K_{(1,1,1)(2,1)}=0,\,K_{(1,1,1)(1,1,1)}=1.}$

これらの値は、単項式対称関数によるシュアー関数の展開における係数とまったく同じです。

${\displaystyle s_{\varnothing }=m_{\varnothing }=1}$

${\displaystyle s_{(1)}=m_{(1)}}$

${\displaystyle s_{(2)}=m_{(2)}+m_{(1,1)}}$

${\displaystyle s_{(1,1)}=m_{(1,1)}}$

${\displaystyle s_{(3)}=m_{(3)}+m_{(2,1)}+m_{(1,1,1)}}$

${\displaystyle s_{(2,1)}=m_{(2,1)}+2m_{(1,1,1)}}$

${\displaystyle s_{(1,1,1)}=m_{(1,1,1)}}$

Kostka (1882、118-120 ページ) は、8 までの数の分割についてこれらの数の表を示しました。

コストカ数は、1 変数または 2 変数のコストカ多項式の特別な値です。

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).}$

• スタンレー、リチャード（1999）、列挙的組合せ論、第2巻、ケンブリッジ大学出版局
• Kostka, C. (1882)、「Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen」、Crelle's Journal、93 : 89–123、doi :10.1515/crll.1882.93.89
• マクドナルド、IG（1995）、対称関数とホール多項式、オックスフォード数学モノグラフ（第2版）、クラレンドン・プレスオックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853489-1、MR  1354144、2012-12-11にオリジナルからアーカイブ
• セーガン、ブルース E. (2001) [1994]、「代数的組合せ論におけるシューア関数」、数学百科事典、EMS プレス