シューベルト多項式

数学において、シューベルト多項式は、旗多様体におけるシューベルトサイクルのコホモロジー類を表すシューア多項式の一般化である。これらはラスクーとシュッツェンベルガー（1982）によって導入され、ヘルマン・シューベルトにちなんで名付けられた。

ラスク（1995）はシューベルト多項式の歴史について述べた。

シューベルト多項式${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$変数に関する多項式である${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$要素に応じて${\displaystyle w}$無限対称群の${\displaystyle S_{\infty }}$すべての順列の${\displaystyle \mathbb {N} }$有限個の要素を除くすべての要素を固定する。これらは多項式環の基底を形成する。${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$無限に多くの変数において。

旗多様体のコホモロジー${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$は${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,}$どこ${\displaystyle I}$は、正の次数を持つ同次対称関数によって生成されるイデアルである。シューベルト多項式${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$次数が の唯一の同次多項式です${\displaystyle \ell (w)}$シューベルトのサイクルを表す${\displaystyle w}$旗多様体のコホモロジーにおいて${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$十分に大きいすべての${\displaystyle m.}$

• もし${\displaystyle w_{0}}$は最長の順列です${\displaystyle S_{n}}$それから${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$もし${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$、 どこ${\displaystyle s_{i}}$転置${\displaystyle (i,i+1)}$そしてどこで${\displaystyle \partial _{i}}$分割差分演算子は${\displaystyle P}$に${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$。

シューベルト多項式は、これら2つの性質から再帰的に計算できる。特に、これは次のことを意味する。${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$。

その他の物件は

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• もし${\displaystyle s_{i}}$転置${\displaystyle (i,i+1)}$、 それから${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$。

• もし${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$すべての人々のために${\displaystyle i\neq r}$、 それから${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$はシュール多項式です${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$どこ${\displaystyle \lambda }$パーティションは${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$特に、有限個の変数を持つすべてのシューア多項式はシューベルト多項式である。

• シューベルト多項式は正の係数を持つ。その係数に関する予想規則はリチャード・P・スタンレーによって提唱され、セルゲイ・フォミンとスタンレーによる論文、およびサラ・ビリー、ウィリアム・ジョックシュ、スタンレーによる論文の2つで証明された。

• シューベルト多項式は、パイプドリームまたはrcグラフと呼ばれる特定の組み合わせオブジェクト上の生成関数と見なすことができます。これらは、ゲルファント＝ツェトリン多面体の特別な面である、縮小コガン面（ミハイル・コガンの博士論文で導入されたもの）と一対一対応しています。

• シューベルト多項式は、バンプレス・パイプドリームと呼ばれるオブジェクトの重み付き和として表すこともできます。

例えば

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{51423}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

シューベルト多項式は${\displaystyle \mathbb {Z} }$基底には、一意の係数が存在する。${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$ そのため

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

これらは、リトルウッド・リチャードソン規則で記述されるリトルウッド・リチャードソン係数の一般化と見なすことができる。代数幾何学的な理由（1974年のクライマンの横断性定理）により、これらの係数は非負整数であり、これらの数に対する組み合わせ規則を与えることは、表現論と組み合わせ論における未解決の問題である。

二重シューベルト多項式${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$これらは、無限対称群の要素wによってパラメータ化された 2 つの無限変数集合の多項式であり、すべての変数が の場合、通常のシューベルト多項式になります。${\displaystyle y_{i}}$は${\displaystyle 0}$。

二重シューベルト多項式${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$特性によって特徴付けられる

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$いつ${\displaystyle w}$は順列です${\displaystyle 1,\ldots ,n}$最も長いもの。

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$もし${\displaystyle w(i)>w(i+1).}$

二重シューベルト多項式は次のように定義することもできます。

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y).}$

Fomin、Gelfand 、 Postnikov（1997）は量子シューベルト多項式を導入した。これは、通常のシューベルト多項式が通常のコホモロジーに対して持つのと同じ関係を旗多様体の（小さな）量子コホモロジーに対して持つ。

フルトン（1999）は、古典的および量子的シューベルト多項式を一般化した普遍シューベルト多項式を導入した。彼はまた、二重シューベルト多項式を一般化した普遍二重シューベルト多項式についても記述した。

• スタンレー対称関数
• コスタント多項式
• モンクの公式は、線形シューベルト多項式とシューベルト多項式の積を与える。
• ニル・コクセター代数

• Bernstein, IN ; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973)、「シューベルトセルと空間 G/P のコホモロジー」、Russian Math. Surveys、28 (3): 1– 26、Bibcode : 1973RuMaS..28....1B、doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557、S2CID 800432 
• Fomin, Sergey ; Gelfand, Sergei; Postnikov, Alexander (1997)、「量子シューベルト多項式」、Journal of the American Mathematical Society、10 (3): 565–596、doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3、ISSN 0894-0347、MR 1431829  
• Fulton, William (1992)、「フラグ、シューベルト多項式、退化軌跡、および行列式」、Duke Mathematical Journal、65 (3): 381–420、doi : 10.1215/S0012-7094-92-06516-1、ISSN 0012-7094、MR 1154177  
• フルトン、ウィリアム（1997）、『ヤング・タブロー』、ロンドン数学会学生テキスト、第 35巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-56144-0MR 1464693​ 
• Fulton, William (1999)、「普遍的なシューベルト多項式」、Duke Mathematical Journal、96 (3): 575–594、arXiv : alg-geom/9702012、doi : 10.1215/S0012-7094-99-09618-7、ISSN 0012-7094、MR 1671215、S2CID 10546579   
• Lascoux、Alain (1995)、「Polynômes de Schubert: une approche historique」、離散数学、139 (1): 303–317、doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D、ISSN 0012-365X、MR 1336845  
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• Macdonald, IG (1991)、「シューベルト多項式」、Keedwell, AD (編) 『組合せ論概論 1991』（ギルフォード、1991年）、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 166巻、ケンブリッジ大学出版局、 73–99頁、ISBN  978-0-521-40766-3MR 1161461​ 
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• Manivel, Laurent (2001) [1998],対称関数、シューベルト多項式、退化軌跡、SMF/AMS テキストおよびモノグラフ、第 6 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2154-1MR 1852463​ 
• ソッティレ、フランク（2001）[1994]、「シューベルト多項式」、数学百科事典、EMS Press