スタンレー対称関数

数学、特に代数的組合せ論において、スタンレー対称関数は、リチャード・スタンレー(1984)が対称順列群の 研究で導入した対称関数の族です。

形式的には、置換wでインデックス付けされたスタンレー対称関数F _w ( x ₁ , x _{2 , ...) は、特定の}基本準対称関数の和として定義されます。各加数はwの簡約分解、つまり、隣接する転置の最小数の積としてw を書く方法に対応します。これらは、スタンレーによる置換の簡約分解の列挙、特に、置換w ₀ = n ( n − 1)...21 (ここでは1 行表記で書かれています) が正確に

${\displaystyle {\frac {{\binom {n}{2}}!}{1^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots (2n-3)^{1}}}}$

簡約分解。（ここで は二項係数n ( n − 1)/2を表し、 ! は階乗を表します。） ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

スタンレー対称関数F _{w は、} wの反転の数に等しい次数で同次です。他の優れた対称関数の族とは異な​​り、スタンレー対称関数は多くの線形従属関係を持つため、対称関数の環の基底を形成しません。スタンレー対称関数をシュアー関数の基底で展開すると、係数はすべて非負の整数になります。

スタンレー対称関数はシューベルト多項式の安定極限であるという性質を持つ。

${\displaystyle F_{w}(x)=\lim _{n\to \infty}{\mathfrak {S}}_{1^{n}\times w}(x)}$

ここで両辺を形式的なべき級数として扱い、係数ごとに極限をとります。

• スタンレー、リチャード P. (1984)、「コクセター群の要素の縮約分解の数について」(PDF)、ヨーロッパ組合せ論ジャーナル、5 (4): 359–372、doi :10.1016/s0195-6698(84)80039-6、ISSN  0195-6698、MR  0782057