サドルポイント

数学において、鞍点またはミニマックス点^{[ 1 ]}とは、関数のグラフの表面上の点で、直交する方向の傾き（導関数）がすべてゼロ（臨界点）となるが、関数の局所極値ではない点である^[²^] 。鞍点の例としては、ある軸方向（ピーク間）に沿って相対的な最小値、交差する軸に沿って相対的な最大値を持つ臨界点が存在する場合が挙げられる。しかし、鞍点は必ずしもこの形である必要はない。例えば、関数 $f(x,y)=x^{2}+y^{3}$ 重要なポイントがあります $(0,0)$ それは相対最大値でも相対最小値でもないので鞍点ですが、相対最大値も相対最小値もありません。 $y$ -方向。

その名前は、2次元における典型的な例が、一方向には上向きに湾曲し、別の方向には下向きに湾曲する曲面であり、乗馬用の鞍に似ているという事実に由来する。等高線の観点から見ると、2次元の鞍点からは、原則として、その点で交差する一対の線を持つ等高線図が得られる。このような交差は、地形図などの離散的な等高線で描かれた等高線図ではまれである。鞍点の高さが、そのような地図で使用される整数倍と一致する可能性は低いからである。代わりに、鞍点は、鞍点に近づいたり離れたりする4組の等高線の間に空白として現れる。基本的な鞍点の場合、これらの組は対になって現れ、反対側の高いペアと反対側の低いペアが直交する方向に配置される。重要な等高線は、一般的に直交して交差する必要はない。

数学的考察

2つの実変数を持つ実数値関数F ( x , y ) の与えられた停留点が鞍点であるかどうかを確認する簡単な基準は、その点における関数のヘッセ行列を計算することです。ヘッセ行列が不定であれば、その点は鞍点です。例えば、関数のヘッセ行列は次のようになります。 $z=x^{2}-y^{2}$ 静止点において $(x,y,z)=(0,0,0)$ 行列は

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}

これは不定です。したがって、この点は鞍点です。この基準は十分条件のみを与えます。例えば、点 $(0,0,0)$ 関数の鞍点である $z=x^{4}-y^{4},$ しかし、この関数の原点におけるヘッセ行列は零行列であり、不定行列ではない。

最も一般的な言い方をすれば、滑らかな関数（そのグラフが曲線、曲面、または超曲面である）の鞍点とは、その点の近傍にある曲線／曲面などが、その点における接空間のどの側にも完全には位置しないような停留点のことである。

1次元領域において、鞍点とは、停留点であると同時に変曲点でもある点のことである。変曲点であるため、局所極値ではない。

サドル面

鞍面とは、 1つ以上の鞍点を含む滑らかな曲面のことである。

ユークリッド空間における2次元鞍点曲面の古典的な例としては、2次曲面である双曲放物面が挙げられる。 $z=x^{2}-y^{2}$ （これはしばしば「鞍面」または「標準鞍面」と呼ばれます）と1枚のシートの双曲面です。プリングルズのポテトチップスは、双曲放物面形状の日常的な例です。

サドル曲面は負のガウス曲率を持ち、正のガウス曲率を持つ凸面や楕円面とは区別されます。古典的な3次サドル曲面はモンキーサドルです。^{[ 3 ]}

例

連続空間上で定義された2人零和ゲームにおいて、均衡点は鞍点である。

2次線形自律システムの場合、特性方程式が1つの正の実固有値と1つの負の実固有値を持つ場合、臨界点は鞍点となる。^[⁴^]

等式制約の下での最適化では、一次条件はラグランジアンの鞍点を表します。

その他の用途

力学系において、ダイナミクスが微分可能な写像fで与えられる場合、点が双曲的であるのは、その点におけるƒ ⁿ ( nはその点の周期) の微分が (複素)単位円上に固有値を持たない場合に限る。このとき、鞍点とは、安定多様体と不安定多様体の次元がゼロでない双曲的周期点である。

行列の鞍点とは、その列の中で最大の要素であり、かつその行の中で最小の要素である要素のことである。

参考文献

引用文献

↑ハワード・アントン、アール・ビベンス、スティーブン・デイビス (2002):微積分、多変数版、p. 844。
↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill . p . 312. ISBN 0-07-010813-7。
↑ Buck, R. Creighton (2003). Advanced Calculus (3rd ed.). Long Grove, IL: Waveland Press . p. 160. ISBN 1-57766-302-0。
↑フォン・ペータースドルフ 2006

情報源

Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions , Berlin: Springer-Verlag, p. 375 , ISBN 0-387-97388-5
ヒルベルト、デイヴィッド；コーン＝フォッセン、シュテファン（1952）、『幾何学と想像力』（第2 版）、ニューヨーク、NY：チェルシー、ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
フォン・ペータースドルフ、トビアス（2006）「自律システムの臨界点」、『科学者と技術者のための微分方程式』（数学246講義ノート）
Widder、DV (1989)、Advanced calculus、ニューヨーク州ニューヨーク: Dover Publications、p. 128、ISBN 0-486-66103-2
アガルワル、A.、「ナッシュ均衡に関する研究（講義ノート）」

さらに読む

ヒルベルト、デイヴィッド；コーン＝フォッセン、シュテファン（1952）。幾何学と想像力（第2 版）。チェルシー。ISBN 0-8284-1087-9。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにあるサドルポイント関連のメディア

[1] ハワード・アントン、アール・ビベンス、スティーブン・デイビス (2002):微積分、多変数版、p. 844。

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill . p . 312. ISBN 0-07-010813-7。

[3] Buck, R. Creighton (2003). Advanced Calculus (3rd ed.). Long Grove, IL: Waveland Press . p. 160. ISBN 1-57766-302-0。

[4] フォン・ペータースドルフ 2006

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