ゼロマトリックス

数学、特に線形代数において、零行列またはヌル行列とは、すべての要素がゼロである行列のことである。また、それは加法群の加法単位元としても機能する。${\displaystyle m\times n}$行列であり、記号で表される。${\displaystyle O}$または${\displaystyle 0}$続いて、文脈に応じて行列の次元に対応する添え字が続く。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ゼロ行列の例をいくつか挙げると

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

セット${\displaystyle m\times n}$リングKのエントリを持つ行列はリングを形成する${\displaystyle K_{m,n}}$ゼロ行列${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$で${\displaystyle K_{m,n}\,}$すべてのエントリが等しい行列は${\displaystyle 0_{K}\,}$、 どこ$0K$Kにおける 加法単位元である。

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

ゼロ行列は加法単位行列です${\displaystyle K_{m,n}\,}$[ ^{4 ]}つまり、すべて^の${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$それは方程式を満たす

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

任意の次元m × n (特定の環の要素を持つ) に対して、零行列はただ一つしか存在しないため、文脈が明確な場合は、零行列という表現がよく用いられます。一般に、環の零要素は一意であり、通常は親環を示す添え字なしで 0 と表記されます。したがって、上記の例は、任意の環上の零行列を表しています。

ゼロ行列は、すべてのベクトルをゼロベクトルに送る線形変換も表します。^{[ 5 ]}これは冪等性を持つため、自身を掛けると結果は自身になります。

ランクが0である行列は、零行列のみである。

通常の最小二乗回帰では、データに完全に適合する場合、消去行列はゼロ行列になります。

• 単位行列、行列の乗法単位行列
• 要素がすべて 1 の行列、つまりすべての要素が 1 である行列
• 冪零行列
• 単一要素行列とは、要素のうち1つを除くすべてがゼロである行列のことである。