ロスビーウェーブ

大気中のロスビー波は、ポテンシャル渦度の保存によって生じ、コリオリ力と圧力勾配の影響を受けます。 ^{[ 3 ]}左の図は、その復元力や西向きの位相速度など、波の基本原理をスケッチしたものです。回転によって、流体は北半球では右に、南半球では左に曲がります。たとえば、赤道から北極に向かって移動する流体は東に偏向し、北から赤道に向かって移動する流体は西に偏向します。これらの偏向は、コリオリ力とポテンシャル渦度の保存によって引き起こされ、相対渦度の変化につながります。これは、力学における角運動量の保存に類似しています。地球を含む惑星大気では、ロスビー波は緯度によるコリオリ効果の変化によって生じます。

地球上のロスビー波は、波の山によって示される位相速度が常に西向きの成分を持つことで識別できます。^{[ 1 ] [ 4 ]}ただし、収集されたロスビー波のセットは、群速度として知られる速度でどちらの方向にも移動しているように見える場合があります。一般に、短い波は東向きの群速度を持ち、長い波は西向きの群速度を持ちます。

ロスビー波の鉛直構造を区別するために、 「順圧」と「傾圧」という用語が用いられる。順圧ロスビー波は鉛直方向に変化せず、最も速い伝播速度を持つ。一方、傾圧波モードは鉛直方向に変化する。また、速度は遅く、毎秒数センチメートル以下である。^{[ 5 ]}

ロスビー波の研究のほとんどは、地球の大気中のロスビー波について行われてきました。地球の大気中のロスビー波は、ジェット気流の（通常4～6）大規模な蛇行として容易に観測できます。これらの偏向が非常に顕著になると、冷たい空気または暖かい空気の塊が分離し、それぞれ弱いサイクロンと高気圧となり、中緯度における日々の気象パターンを引き起こします。ロスビー波の作用は、北半球の東側の大陸縁辺部、例えば米国北東部やカナダ東部が、同じ緯度の西ヨーロッパよりも寒い理由^{[ 6 ]}、および地中海が夏に乾燥する理由（ロッドウェル・ホスキンズ機構） ^{[ 7 ]}を部分的に説明しています。

海洋ロスビー波は、海洋盆地内の大規模な波です。振幅は小さく、表面では数センチメートルから躍層では数メートル程度で、数百キロメートルにも及ぶ大気ロスビー波とは対照的です。海洋盆地を横断するのに数ヶ月かかることもあります。海洋表面層の風応力から運動量を得て、風と浮力の両方による強制力の変動によって気候変動を伝達すると考えられています。赤道外ロスビー波は、東向きに伝播するケルビン波が東部境界流に逆らって湧昇することで伝播すると考えられている一方、赤道ケルビン波は、ロスビー波が西部境界流に逆らって反射することでエネルギーの一部を得ると考えられています。^{[ 13 ]}

順圧波と傾圧波はどちらも海面高度の変動を引き起こしますが、波の長さが長いため、衛星高度計が登場するまでは検出が困難でした。衛星観測により、海洋ロスビー波の存在が確認されています。^{[ 14 ]}

傾圧波は海洋の躍層を大きく変位させ、その変位はしばしば数十メートルにも及ぶ。衛星観測により、ロスビー波がすべての海洋盆地、特に低緯度および中緯度でゆっくりと進行することが明らかになった。ベータ効果により、ロスビー波の伝播時間は緯度とともに増加する。太平洋のような盆地では、赤道付近を伝播する波は数ヶ月かかる場合があるが、極に近い場所では伝播に数十年かかる場合がある。^{[ 15 ]}

ロスビー波は、木星の衛星エウロパの海洋加熱を説明する重要なメカニズムとして提案されている。^{[ 16 ]}

ロスビー波不安定性は、例えば新しく形成された星の周りの天体円盤にも見られると考えられている。 ^{[ 17 ] [ 18 ]}

まず、帯状平均流Uは、時間と空間においてU が一定であるような摂動を受けていると考えることができる。${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u,v\rangle }$は全水平風場を表し、uとv はそれぞれx方向とy方向の風の成分である。全風場は、平均流Uに小さな摂動u ′とv ′を重ね合わせたものとして表すことができる。 $${\displaystyle u=U+u'(t,x,y)\!}$$$${\displaystyle v=v'(t,x,y)\!}$$

この摂動は、平均的な東西方向の流れよりもはるかに小さいと仮定される。 $${\displaystyle U\gg u',v'\!}$$

相対渦度${\displaystyle \eta }$そして摂動${\displaystyle u'}$そして${\displaystyle v'}$ストリーム関数を用いて記述することができる${\displaystyle \psi }$（非発散流を仮定した場合、流れ関数が流れを完全に記述する）： $$\begin{aligned}u'&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\\[5pt]v'&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\[5pt]\eta &=\nabla \times (u'\mathbf {\hat {\boldsymbol {\imath }}} +v'\mathbf {\hat {\boldsymbol {\jmath }}} )=-\nabla ^{2}\psi \end{aligned}}}$$

摂動前は相対渦度を持たない（一様なUには渦度がない）が、緯度の関数として惑星渦度fを持つ空気塊を考えると、摂動によって緯度がわずかに変化するため、位置渦度を保存するには摂動後の相対渦度も変化する必要がある。また、上記の近似U >> u'は、摂動流が相対渦度を移流させないことを保証する。

$${\displaystyle {\frac {d(\eta +f)}{dt}}=0={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+U{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+\beta v'}$$ と${\displaystyle \beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}}$ストリーム関数の定義を代入して、以下を取得します。 $${\displaystyle 0={\frac {\partial \nabla ^{2}\psi }{\partial t}}+U{\frac {\partial \nabla ^{2}\psi }{\partial x}}+\beta {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

未定係数法を用いると、東西方向および南北方向の波数kとℓを持ち、周波数がの進行波解を考えることができる。${\displaystyle \omega }$: $${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{i(kx+\ell y-\omega t)}\!}$$

これにより、分散関係が得られます。 $${\displaystyle \omega =Uk-\beta {\frac {k}{k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

ロスビー波の 帯状（x方向）位相速度と群速度は次のように与えられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}c&\equiv {\frac {\omega }{k}}=U-{\frac {\beta }{k^{2}+\ell ^{2}}},\\[5pt]c_{g}&\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\ =U-{\frac {\beta (\ell ^{2}-k^{2})}{(k^{2}+\ell ^{2})^{2}}},\end{aligned}}}$$ ここで、 cは位相速度、c _gは群速度、Uは平均西風、${\displaystyle \beta }$はロスビーパラメータ、kは東西波数、ℓは南北波数です。ロスビー波の東西位相速度は平均流Uに対して常に西向き（東から西へ）ですが、ロスビー波の東西群速度は波数によって東向きにも西向きにもなり得ることに注意してください。

ロスビーパラメータは、子午線方向における コリオリ周波数の変化率として定義される。$${\displaystyle \beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {1}{a}}{\frac {d}{d\varphi }}(2\omega \sin \varphi )={\frac {2\omega \cos \varphi }{a}},}$$ どこ${\displaystyle \varphi }$は緯度、ωは地球の自転角速度、aは地球の平均半径です。

もし${\displaystyle \beta =0}$、ロスビー波は発生しません。ロスビー波は、惑星の自転の接線速度の勾配（惑星の渦度）に由来します。「円筒形」の惑星にはロスビー波はありません。また、地球を含む、回転する球状の惑星の赤道では、たとえ、${\displaystyle f=0}$、 なぜなら${\displaystyle \beta >0}$これらは赤道ロスビー波として知られています。