制限されたべき級数

代数学において、制限べき級数の環は、次数が無限大に近づくにつれて係数が 0 に近づくようなべき級数で構成される形式的なべき級数環の部分環である。 ^[1]非アルキメデス完備体上では、環はテイト代数とも呼ばれる。環の商環は、非アルキメデス完備体上の剛体解析だけでなく、形式的な代数空間の研究にも使用される。

離散 位相環上では、制限された冪級数の環は多項式環と一致する。したがって、この意味で、「制限された冪級数」の概念は多項式環の一般化である。

A を、分離され完全な線型位相環で、開イデアルの基本系とします。制限された冪級数の環は、上の多項式環の射影極限として定義されます。 ${\displaystyle \{I_{\lambda }\}}$${\displaystyle A/I_{\lambda}}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. ^{[2] [3]}

言い換えれば、これは濾過 に関する多項式環の完備化です。この制限されたべき級数の環は と表記されることもあります。 ${\displaystyle A[x_{1},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle \{I_{\lambda}[x_{1},\dots ,x_{n}]\}}$${\displaystyle A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

明らかに、環は係数 を持つ級数からなる形式冪級数環の部分環と同一視できる。すなわち、各 は有限個以外のすべての係数 を含む。また、環は普遍的性質^[4]を満たす（そして実際にその性質によって特徴付けられる）：（1）分離され完全な線型位相環 への各連続環準同型、および（2） の各元に対して、一意の連続環準同型が存在する。 ${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$${\displaystyle \sum c_{\alpha }x^{\alpha }}$${\displaystyle c_{\alpha }\to 0}$${\displaystyle I_{\lambda}}$${\displaystyle c_{\alpha}}$ ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}}$

延長します。 ${\displaystyle A\to B}$

剛体解析において、基底環A が完全な非アルキメデス体 の付値環であるとき、 でテンソル化された制限冪級数の環は、 ${\displaystyle (K,|\cdot |)}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K}$

は、ジョン・テイトにちなんでテイト代数と呼ばれます。^[5]これは、に収束する級数からなる形式冪級数の部分環と同義です。ここで、 は代数閉包における付値環です。 ${\displaystyle k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

の最大スペクトルは、剛体幾何学におけるアフィン空間をモデル化する剛体解析空間です。 ${\displaystyle T_{n}}$

のガウスノルムを次のよう に定義する。${\displaystyle f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle \|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.}$

これにより、 k上のバナッハ代数、つまり距離空間として完全なノルム代数が作られます。このノルムでは、 の任意のイデアルは閉じており^[6]、したがって、I が根基であれば、商もアフィノイド代数と呼ばれる（縮小された）バナッハ代数です。 ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle T_{n}/I}$

主な結果は次のとおりです。

• （ワイエルシュトラス除法） をsの -区別された級数とする。すなわち、、は単位元であり、に対してである。^[7]すると、各 に対して、次数の一意の多項式と一意の多項式が存在し、 ${\displaystyle g\in T_{n}}$${\displaystyle \xi _{n}}$${\displaystyle g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }}$${\displaystyle g_{\nu }\in T_{n-1}}$${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle |g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|}$${\displaystyle \nu >s}$${\displaystyle f\in T_{n}}$${\displaystyle q\in T_{n}}$${\displaystyle r\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$ ${\displaystyle <s}$

  ${\displaystyle f=qg+r.}$^[8]

• （ワイエルシュトラスの準備）上記のように、を位数sの区別された級数とします。すると、となる次数の単項式と単位元が一意に存在します。^[9]${\displaystyle g}$${\displaystyle \xi _{n}}$ ${\displaystyle f\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle u\in T_{n}}$${\displaystyle g=fu}$
• （ノイマン正規化）がイデアルであれば、有限準同型が存在する。^[10]${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset T_{n}}$${\displaystyle T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}$

除算、準備定理、およびノイマン正規化の結果として、クルル次元nのノイマン一意因数分解領域が存在します。^[11]ヒルベルトの零点定理の類似が有効です。つまり、イデアルの根号は、そのイデアルを含むすべての極大イデアルの共通部分です（環がヤコブソン環であると言います）。^[12]${\displaystyle T_{n}}$

ヘンゼルの補題、除算アルゴリズム（またはグレブナー基底の理論）などの多項式環の結果は、制限された冪級数の環にも当てはまります。このセクション全体を通して、A は、分離され完全な線形位相環を表します。

• （ヘンゼル）を最大イデアル、商写像とする。におけるが与えられたとき、の単位イデアルを生成するような、ある単項多項式と制限冪級数に対して、 に が存在し、に が存在し、 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$${\displaystyle \varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$${\displaystyle \varphi (F)=gh}$${\displaystyle g\in k[\xi ]}$${\displaystyle h\in k\langle \xi \rangle }$${\displaystyle g,h}$${\displaystyle k\langle \xi \rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle A[\xi ]}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$

  ${\displaystyle F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h}$^[13 ]

• ブルバキ、N. (2006)。代数可換: Chapitres 1 à 4。シュプリンガー ベルリン ハイデルベルク。ISBN 9783540339373。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ボッシュ、ジークフリート。ギュンツァー、ウルリッヒ。 Remmert、Reinhold (1984)、「第 5 章」、非アルキメデス分析、Springer
• ボッシュ、ジークフリート（2014）、形式幾何学と剛体幾何学に関する講義、ISBN 9783319044170
• 藤原和弘；加藤 史晴 (2018)、剛体幾何学の基礎 I

• ワイエルシュトラスの準備定理

• https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
• http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
• https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf