交換可能な素数

可換素数（アナグラム素数とも呼ばれる）は、与えられた基数において、任意の順列で数字の位置を入れ替えても素数であり続ける素数である。これらの素数を最初に研究したとされるHEリヒャルトは、これを可換素数と呼んだが^{[1] 、後に}絶対素数とも呼ばれるようになった。^[2]

基数 2 では、レプユニットのみが交換可能な素数になり得ます。これは、任意の 0 を 1 の位に交換すると偶数になるためです。したがって、基数 2 の交換可能な素数はメルセンヌ素数です。任意の位置数体系について、1 桁を超える交換可能な素数は、その数体系の基数と互いに素な桁のみを持つことができると一般化しても問題ありません。1 桁の素数、つまり基数より下の任意の素数は、常に簡単に交換可能です。

10進数では、49,081桁未満のすべての交換可能な素数が知られている。

2、3、5、7、11、13、17、31、37、71、73、79、97、113、131、199、 311 、 337 、 373 、 733 、 919 、 991 、 R ₁₉ (111111111111111111)、 R ₂₃、 R ₃₁₇、 R ₁₀₃₁、 R _{49081 、 ... (} OEISのシーケンスA003459 )

ここで、R _n  :=はレプユニットであり、 n個の1のみで構成される数（基数10）である。任意のレプユニット素数は上記の定義で交換可能な素数であるが、定義によっては少なくとも2つの異なる数字が必要となる。^[3]${\displaystyle {\tfrac {10^{n}-1}{9}}}$

上記のうち、最小の要素を持つ16の一意の順列セットがあります。

2、3、5、7、R ₂、13、17、37、79、113、199、337、R ₁₉、R ₂₃、R ₃₁₇、R _{1031 、...（} OEISの配列A258706）

2桁以上のすべての可換素数は、1、3、7、9の数字から構成されます。これは、2以外の素数は偶数ではなく、5以外の素数は5で割り切れないからです。1、3、7、9の⁴つの数字のうち3つの異なる数字を含む可換素数は存在せず、1、3、7、9から選択された2つの数字のそれぞれを2つ以上含む可換素数は存在しないことが証明されています[4]。

3 < n < 6·10 ¹⁷⁵に対して、再単位ではないn桁の交換可能な素数は存在しない。 ^{[1]上記の 18 個以外に、再単位ではない交換可能な素数は存在しないと}推測される。それらは 7 つの交換集合に分割できる。

{13, 31}、{17, 71}、{37, 73}、{79, 97}、{113, 131, 311}、{199, 919, 991}、{337, 373, 733}。

12 進数では、9,739 桁未満の可換素数の一意の順列集合の最小の要素が知られています (それぞれ 10 と 11 には 2 と 3 を逆に使用)。

2, 3, 5, 7, Ɛ, R ₂ , 15, 57, 5Ɛ, R ₃ , 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R ₅ , R ₁₇ , R ₈₁ , R ₉₁ , R ₂₂₅ , R ₂₅₅ , R _4ᘔ5 , . ..

4 < n < 12 ^{144に対して、12 進数には}n桁の交換可能な素数は存在せず、これは再単位ではありません。上記に挙げたもの以外に、12 進数には再単位ではない交換可能な素数は存在しないと推測されます。

基数 10 および 12 では、すべての交換可能な素数はレプユニットまたは近似レプディジット、つまり整数 P ( b、n、x、y ) = xxxx ... xxxy _b (基数bのn桁) の順列です。ここで、xとy はbと互いに素な数字です。さらに、xとy は互いに素でなければなりません (素数pがある場合、xとy の両方を割り切れる場合、p はその数も割り切れるため)。したがって、 x = yの場合、x = y = 1 です。 (これはすべての基数で当てはまるわけではありませんが、例外はまれであり、特定の基数では有限である可能性があります。20までの基数で10 ^{9未満の唯一の例外は、 139} ₁₁、 36A ₁₁、 247 ₁₃、 78A ₁₃、 29E ₁₉です(M. Fiorentini、2015)。)

P(b, n, x, y) を底b の交換可能な素数とし、p を n ≥ p となる素数とします。bがpの原始根であり、 pがxを割り切れない場合、または | x - y | の場合、n はp - 1の倍数です。 ( b はp を法とする原始根であり、p は| x − y |を割り切れないので、 p 個の数xxxx ... xxxy、xxxx ... xxyx、xxxx ... xyxx、...、xxxx ... xyxx ... xxxx ( b ^{p −2}桁のみがyで、他はすべてx )、xxxx ... yxxx ... xxxx ( b ^{p −1}桁のみがyで、他はすべてx )、xxxx ... xxxx ( n x sの繰り返し桁) mod p はすべて異なります。つまり、1 つが 0、もう 1 つが 1、もう 1 つが 2、...、残りはp − 1 です。したがって、最初のp − 1 個の数はすべて素数なので、最後の数 ( n x sの繰り返し桁) はpで割り切れる必要があります。pはx を割り切れないので、p は繰り返し単位をn個の 1で割り切れる必要があります。bは原始根であるため、 mod p の場合、 n mod pの乗法順序はp − 1です。したがって、n はp − 1で割り切れる必要があります。

したがって、b = 10 の場合、10 と互いに素な数字は {1, 3, 7, 9} です。10 は 7 を法とする原始根であるため、n ≥ 7 の場合、7 はx を割り切る(この場合、x ∈ {1, 3, 7, 9}なので、 x = 7 ) か、| x − y | (この場合、x = y = 1、x , y ∈ {1, 3, 7, 9} なので、x = y = 1。つまり、素数はレプユニットです) か、nは 7 − 1 = 6 の倍数です。同様に、10 は 17 を法とする原始根であるため、n ≥ 17 の場合、17 はx を割り切る( x ∈ {1, 3, 7, 9}なので不可能) か、| x − y | (この場合、x = y = 1、なぜならx、y ∈ {1、3、7、9} だからです。つまり、素数はレプユニットです) またはnは 17 − 1 = 16 の倍数です。さらに、10 は 19、23、29、47、59、61、97、109、113、131、149、167、179、181、193、... を法とする原始根でもあるので、n ≥ 17 はまったく不可能です (この素数pに対して、n ≥ pであればnはp − 1で割り切れるため)。また、7 ≤ n < 17であればx = 7、つまりn は6 で割り切れます (可能なnは 12 だけです)。b = 12の場合、12 と互いに素な数字は {1, 5, 7, 11} です。12 は 5 を法とする原始根なので、n ≥ 5 であれば、5 はx を割り切れる(この場合、x ∈ {1, 5, 7, 11}なのでx = 5 ) か、| x − y |となります。 (この場合、x = y = 1 (つまり、素数はレプユニットです) またはx = 1, y = 11 またはx = 11, y = 1 ( x , y ∈ {1, 5, 7, 11} であるため) のいずれかです。) またはn は5 − 1 = 4 の倍数です。同様に、12 は 7 を法とする原始根なので、n ≥ 7 であれば、7 はx を割り切る(この場合、x ∈ {1, 5, 7, 11} であるため、 x = 7 ) か、| x − y | (この場合、x = y = 1 ( x , y ∈ {1, 5, 7, 11} であるため、 つまり、素数はレプユニットです) か、nは 7 − 1 = 6 の倍数です。同様に、12 は 17 を法とする原始根なので、n ≥ 17 であれば、17 はx を割り切れる( x ∈ {1, 5, 7, 11}なので不可能) か、| x − y | になります。 （この場合、x = y = 1 です。なぜなら、 x、y ∈ {1, 5, 7, 11} だからです。つまり、素数はレプユニットです）またはnは 17 − 1 = 16 の倍数です。さらに、12 は 31、41、43、53、67、101、103、113、127、137、139、149、151、163、173、197、... を法とする原始根でもあります。そのため、n ≥ 17 は非常に不可能です（この素数pに対して、n ≥ pであれば、n はp − 1で割り切れるため）。また、 7 ≤ n < 17 であれば、x = 7 です（この場合、 5 はxまたはx − y を割り切れないため、n は4 で割り切れる必要があります）。またはnは6 で割り切れる (可能なnは 12 のみ)。