すべて1つの多項式

数学において、全 1 多項式(AOP) は、すべての係数が 1 である多項式です。位数 2 の有限体上では、AOP が既約となる条件がわかっており、この多項式を使用して、標数2の有限体での乗算の効率的なアルゴリズムと回路を定義できます。^[1] AOP は 1等間隔多項式です。^[2]

m次 のAOPはx ^mからx ⁰までのすべての項に1の係数を持ち、次のように表すことができます。

${\displaystyle AOP_{m}(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}}$

または

${\displaystyle AOP_{m}(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1}$

または

${\displaystyle AOP_{m}(x)={x^{m+1}-1 \over {x-1}}.}$

したがって、m次のすべて 1 の多項式の根は、1 自体を除く すべて ( m +1) 次 1の根です。

GF(2)上で、AOPには次のような多くの興味深い特性があります。

• AOPのハミング重みはm + 1であり、その次数で可能な最大値である^[3]
• AOPは、 m + 1が素数であり、2がm + 1を法とする原始根である場合に限り既約である ^[1]（pを素数とするGF( p )上では、 m + 1が素数であり、pがm + 1を法とする原始根である場合に限り既約である）
• 原始多項式である唯一の AOP はx ² + x + 1です。

ハミング重みが大きいにもかかわらず、表現の容易さやその他の改善により、符号理論や暗号などの分野で効率的な実装が行われています。^[1]

において、 m + 1が素数pであるときはいつでもAOPは既約であり、したがってこれらの場合にはp次の円分多項式である。^[4]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• PlanetMathではすべてが 1 つの多項式です。