割り切れる順序

数学において、割り切れる数列とは、正の整数nでインデックスされた整数列で あり、 ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle {\text{m\mid n{\text{ならばa_{m}\mid a_{n}}$

すべてのm、  nに対して 成り立ちます。つまり、あるインデックスが別のインデックスの倍数である場合、対応する項も他の項の倍数です。この概念は、割り切れるという概念が定義されている任意の環内の値を持つシーケンスに一般化できます。

強割り切れる数列とは、すべての正の整数m、  nに対して 、 ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \gcd(a_{m},a_{n})=a_{\gcd(m,n)}.}$

すべての強除数列は、のときのみ、 の除数列です。したがって、強除数列の性質により、 となり、したがって となります。 ${\displaystyle \gcd(m,n)=m}$${\displaystyle m\mid n}$${\displaystyle \gcd(a_{m},a_{n})=a_{m}}$${\displaystyle a_{m}\mid a_{n}}$

• 任意の定数シーケンスは、強い割り切れるシーケンスです。
• 非ゼロの整数kに対する形式のすべてのシーケンスは、割り切れるシーケンスです。${\displaystyle a_{n}=kn,}$
• 形式の数(メルセンヌ数) は、強い割り切れる数列を形成します。${\displaystyle 2^{n}-1}$
• 任意の基数R _n ^(b)のレプユニット数は、強い割り切れる数列を形成します。
• より一般的には、整数の形式のシーケンスはいずれも割り切れるシーケンスです。実際、と が互いに素である場合、これは強い割り切れるシーケンスです。${\displaystyle a_{n}=A^{n}-B^{n}}$${\displaystyle A>B>0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• フィボナッチ数 F _{n は}強い割り切れる数列を形成します。
• より一般的には、第一種ルーカス列U _n ( P , Q )はいずれも割り切れる列である。さらに、gcd( P , Q ) = 1のとき、それは強い割り切れる列である。
• 楕円割り切れるシーケンスは、そのようなシーケンスの別のクラスです。

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