のこぎり波

のこぎり波
帯域制限された鋸歯状波[ 1 ]を時間領域（上）と周波数領域（下）で示した図。基本波は220Hz  （A3 ）である。
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle x(t)=2\left(t-\left\lfloor t+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor \right),t-{\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} }$
適用分野	電子機器、シンセサイザー
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{n-{\tfrac {1}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
値域	${\displaystyle \left(-1,1\right)}$
基本機能
パリティ	奇数
期間	1
具体的な特徴
根	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
フーリエ級数	${\displaystyle x(t)=-{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{k}}\sin \left(2\pi kt\right)}$

のこぎり波（または鋸歯波）は、非正弦波の一種です。その名前は、すくい角がゼロの平鋸の歯に似ていることに由来します。単一ののこぎり波、または断続的に発生するのこぎり波は、ランプ波形と呼ばれます。

一般的に、のこぎり波は上昇し、その後急激に下降する。逆（または反転）のこぎり波では、波は下降し、その後急激に上昇する。これは非対称三角波の極端なケースと考えることもできる。^{[ 2 ]}

等価な区分的線形関数$${\displaystyle x(t)=t-\lfloor t\rfloor }$$$${\displaystyle x(t)=t{\bmod {1}}}$$時間tの床関数 に基づくと、周期1ののこぎり波の例となる。

より一般的な形式は、−1から1の範囲で、周期pを持つもので、次のようになる。 $${\displaystyle 2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{p}}\right\rfloor \right)}$$

こののこぎり波関数は、正弦波関数と同じ位相を持っています。

方形波は奇数次高調波のみで構成されるのに対し、のこぎり波の音は荒々しく明瞭で、そのスペクトルには基本周波数の偶数次高調波と奇数次高調波の両方が含まれています。すべての整数次高調波が含まれているため、特にバイオリンやチェロのような弓で演奏する弦楽器の音を減算合成するのに最適な波形の1つです。弓の滑り棒のような動きが弦をのこぎりのような動きで駆動するためです。^{[ 3 ]}

A sawtooth can be constructed using additive synthesis. For period p and amplitude a, the following infinite Fourier series converge to a sawtooth and a reverse (inverse) sawtooth wave:

$${\displaystyle f={\frac {1}{p}}}$$$${\displaystyle x_{\text{sawtooth}}(t)=-{\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$$$${\displaystyle x_{\text{reverse sawtooth}}(t)={\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$$

In digital synthesis, these series are only summed over k such that the highest harmonic, N_max, is less than the Nyquist frequency (half the sampling frequency). This summation can generally be more efficiently calculated with a fast Fourier transform. If the waveform is digitally created directly in the time domain using a non-bandlimited form, such as y = x − floor(x), infinite harmonics are sampled and the resulting tone contains aliasing distortion.

An audio demonstration of a sawtooth played at 440 Hz (A₄) and 880 Hz (A₅) and 1,760 Hz (A₆) is available below. Both bandlimited (non-aliased) and aliased tones are presented.

• Sawtooth waves are known for their use in electronic music, such as the Hoover sound. The sawtooth and square waves are among the most common waveforms used to create sounds with subtractive analog and virtual analog music synthesizers.
• Sawtooth waves are used in switched-mode power supplies. In the regulator chip the feedback signal from the output is continuously compared to a high-frequency sawtooth to generate a new duty cycle PWM signal on the output of the comparator.
• In the field of computer science, particularly in automation and robotics, ${\displaystyle \mathrm {sawtooth} (\theta )=2\arctan(\tan({\frac {\theta }{2}}))}$ allows to calculate sums and differences of angles while avoiding discontinuities at 360° and 0°.
• The sawtooth wave is the form of the vertical and horizontal deflection signals used to generate a raster on CRT-based television or monitor screens. Oscilloscopes also use a sawtooth wave for their horizontal deflection, though they typically use electrostatic deflection.
  • On the wave's "ramp", the magnetic field produced by the deflection yoke drags the electron beam across the face of the CRT, creating a scan line.
  • 波の「崖」の部分では、磁場が突然崩壊し、電子ビームは可能な限り速やかに元の静止位置に戻ろうとする。
  • 偏向ヨークに印加される電流は、さまざまな手段（変圧器、コンデンサ、センタータップ巻線）によって調整され、鋸歯状の波形の端の中間電圧がゼロマークになるようにします。つまり、負の電流は一方向に偏向を引き起こし、正の電流は反対方向に偏向を引き起こします。したがって、中央に配置された偏向ヨークは、画面全体を使用して波形を表示できます。水平周波数は、 NTSC では15.734 kHz 、 PALおよびSECAMでは15.625 kHzです。 
  • 垂直偏向システムは水平偏向システムと同じように動作しますが、周波数ははるかに低くなっています（NTSC では59.94Hz 、PALとSECAMでは50Hz）。 
  • 波形の傾斜部分は直線として現れる必要があります。そうでない場合、電流が直線的に増加していないことを示し、したがって偏向ヨークによって生成される磁場も直線的ではないことを意味します。その結果、電子ビームは非線形部分で加速します。これにより、テレビ画像は非線形の方向に「圧縮」されます。極端な場合、電子ビームが画像のその側に長く留まるため、明るさが著しく増加します。
  • 初期のテレビ受像機には、画面の垂直方向または水平方向の直線性を調整できるコントロールが備わっていた。しかし、電子部品の安定性が向上したため、後の機種ではそのようなコントロールは搭載されなくなった。

• 周期関数のリスト
• 正弦波
• 方形波
• 三角波
• 脈波
• 音
• スーパーソー
• 波
• ジグザグ

• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007）。乗法数論 I. 古典理論。ケンブリッジ高等数学シリーズ。第97巻、536-537 頁。ISBN  978-0-521-84903-6。