バイナリ質量関数

天文学において、連星質量関数または単に質量関数は、単線分光連星または惑星系における目に見えない構成要素（通常は恒星または太陽系外惑星）の質量を制限する関数である。これは、観測可能な量、つまり連星系の公転周期と観測される恒星の最大視線速度のみから計算できる。連星の1つの構成要素の速度と公転周期は、2つの構成要素間の距離と重力に関する情報を提供し、したがって構成要素の質量に関する情報も提供する。

連星質量関数は、連星系の1つの成分の視線速度が分かっている場合、ケプラーの第三法則に従います。 ^{[1]ケプラーの第三法則は、共通}の質量中心 を周回する2つの物体の運動を記述します。この法則は、2つの物体の軌道間隔とそれらの質量の合計を、公転周期と関連付けます。与えられた軌道間隔に対して、システム全体の質量が大きいほど、公転速度が高くなります。一方、与えられたシステム質量に対して、公転周期が長いほど、公転間隔が大きくなり、公転速度が低くなります。

連星系の軌道周期と軌道速度は連星系の構成要素の質量に関係しているため、これらのパラメータを測定すると、一方または両方の構成要素の質量に関する情報が得られます。^[2]しかし、天空の平面内の速度は視線に沿った速度よりも決定がはるかに難しいため、真の軌道速度は不明であることがよくあります。^[1]

視線速度は、観測者の視線方向における軌道速度の速度成分である。真の軌道速度とは異なり、視線速度は恒星の光のスペクトル線のドップラー分光法から、 ^[3]または電波パルサーからのパルスの到着時間の変化から決定することができる。^[4]連星系は、2つの連星成分のうち1つのみの視線方向の動きを測定できる場合、単線分光連星と呼ばれる。この場合、もう一方の見えない成分の質量の下限を決定できる。^[1]

軌道傾斜角は一般に未知であるため、視線速度から真の質量と真の軌道速度を決定することはできません。(傾斜角は観測者の観点から見た軌道の向きであり、真の速度と視線速度に関係します。^[1] ) これにより、質量と傾斜角の間に退化が生じます。^{[5] [6]}たとえば、測定された視線速度が低い場合、真の軌道速度は低く (低質量の物体を意味する)、傾斜角は高い (軌道が真横から見える) ことを意味するか、真の速度は高い (高質量の物体を意味する) が傾斜角は低い (軌道が正面から見える) ことを意味する可能性があります。

最大視線速度は、図に示すように、視線速度曲線の半振幅です。軌道周期は、視線速度曲線の周期性から求められます。これらは、連星質量関数を計算するために必要な2つの観測可能な量です。^[2]${\displaystyle K}$${\displaystyle P_{\text{orb}}}$

この記事では、視線速度を測定できる観測対象をオブジェクト 1 とし、その見えない伴星をオブジェクト 2 とします。

を恒星の質量、を連星系全体の質量、を軌道速度、を天体の質量中心までの距離とします。 は連星系の 軌道長半径（軌道分離）です。${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$

まずケプラーの第三法則、軌道周波数と重力定数から始めます。 ${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle GM_{\text{tot}}=\omega _{\text{orb}}^{2}a^{3}.}$$

質量中心の位置の定義^[1]を用いると、次のように書くことができる。 ${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$$${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$$

この式をケプラーの第三法則に代入すると、 ${\displaystyle a}$$${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$$

これは次のように書き換えられる。 $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$$

物体1の最大視線速度は軌道傾斜角に依存する（傾斜角0°は正面から見た軌道に対応し、傾斜角90°は側面から見た軌道に対応する）。円軌道（軌道離心率=0）の場合、次の式で表される^[7]。${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$ $${\displaystyle K=v_{1}\sin i=\omega _{\text{orb}}a_{1}\sin i.}$$

代入すると次の式が得られます。 ${\displaystyle a_{1}}$$${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\text{tot}}^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\text{orb}}\sin ^{3}i}}.}$$

2元質量関数（質量の単位付き）は^{[8] [7] [2] [9] [1] [6] [10]}${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$$

観測される物体 1 の推定または仮定の質量に対して、と仮定することで、見えない物体 2 の最小質量を決定することができます。真の質量は軌道傾斜角に依存します。傾斜角は通常は不明ですが、観測された日食からある程度決定できます。^[2]日食が観測されないことから制約を受けることもあれば、^{[8] [9]}楕円体の変化を使用してモデル化することもできます (連星系の星は球形ではないため、軌道の途中で明るさが変化しますが、これは連星系の傾斜角に依存します)。^[11]${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$${\displaystyle i=90^{\circ }}$${\displaystyle M_{2}}$

（例えば、見えない物体が太陽系外惑星^[8]である場合）の場合、質量関数は次のように単純化される。 ${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$$${\displaystyle f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \sin ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.}$$

もう一方の極端な場合、（例えば、見えない物体が高質量ブラックホール）のとき、質量関数は^[2]となり 、 に対して となるため、質量関数は見えない物体の質量の下限値 2 を与えます。^[6]${\displaystyle M_{1}\ll M_{2}}$ $${\displaystyle f\approx M_{2}\sin ^{3}i,}$$${\displaystyle 0\leq \sin(i)\leq 1}$${\displaystyle 0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }}$

一般に、任意のまたはに対して、 ${\displaystyle i}$${\displaystyle M_{1}}$$${\displaystyle M_{2}>\max \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).}$$

離心率を持つ軌道では、質量関数は^{[7] [12]で与えられる。}${\displaystyle e}$ $${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}.}$$

X線連星の集積体がトルマン・オッペンハイマー・フォルコフ限界（中性子星の最大質量）を大幅に超える最小質量を持つ場合、その集積体はブラックホールであると予想される。例えば、伴星の視線速度が測定されたはくちょう座X-1がこれに該当する。 ^{[13] [14]}

太陽系外惑星は、その主星を恒星惑星系の質量中心の周りを小さな軌道で動かす。この「揺れ」は、主星の視線速度が十分に高ければ観測できる。これが太陽系外惑星を検出する視線速度法である。 ^{[5] [3]}質量関数と主星の視線速度を使用することで、太陽系外惑星の最小質量を決定することができる。^{[15] [16] : 9  [12] [17]}この方法を太陽系に最も近い恒星であるプロキシマ・ケンタウリに適用した結果、最小質量が 1.27  M _Eの地球型惑星であるプロキシマ・ケンタウリ bが発見された。^[18]

パルサー惑星はパルサーを周回する惑星であり、いくつかはパルサータイミングを使用して発見されています。パルサーの視線速度の変化は、パルスの到着時間の間隔の変化に起因します。^[4]最初の太陽系外惑星は、1992年にミリ秒パルサー PSR 1257+12の周囲でこの方法で発見されました。^[19]もう1つの例は、質量関数によると、伴星PSR J1719-1438の最小質量が木星の質量にほぼ等しいミリ秒パルサーPSR J1719-1438 bです。^[8]