視線速度

観測者に対するターゲットの視線速度または視線速度は、 2 点間のベクトル変位の変化率です。これは、ターゲットと観測者の相対速度を2 点を結ぶ相対方向または視線(LOS) に投影したベクトルとして表されます。

半径速度または距離速度は、2 点間の距離または距離の時間速度です。これは、相対速度ベクトルの LOS 方向へのスカラー投影として定式化された、符号付きのスカラー量です。同様に、半径速度は、符号を法とした半径速度のノルムに等しくなります。 ^[a]

天文学では、この点は通常、地球上の観測者とみなされるため、視線速度は物体が地球から遠ざかる速度（または、視線速度が負の場合は地球に近づく速度）を表します。

観測者に対するターゲットの 瞬間的な相対位置を定義する微分可能なベクトルが与えられます。${\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}}$

観測者に対する目標の 瞬間相対速度を

位置ベクトルの大きさは内積で定義される。${\displaystyle \mathbf {r} }$

量の範囲率は、の大きさ（ノルム）の時間微分であり、次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

（２）を（３） に代入すると

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {d\langle \mathbf {r} ,\mathbf {r} \rangle ^{1/2}}{dt}}}$

連鎖律による右辺の導関数の評価

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {d\langle \mathbf {r} ,\mathbf {r} \rangle }{dt}}{\frac { 1}{r}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},\mathbf {r} \rangle +\langle \mathbf {r} ,{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\rangle }{r}}}$

（１）を用いると、この式は

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle +\langle \mathbf {r} ,\ mathbf {v} \rangle }{r}}}$

相互性により、^[1] 単位相対位置ベクトル（またはLOS方向）を定義すると、距離率は次のように単純に表される。 ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle {\hat {r}}=\mathbf {r} /{r}}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }{r}}=\langle {\hat {r}},\mathbf {v \rangle }$

つまり、相対速度ベクトルを LOS 方向に投影します。

さらに、相対速度を使用して速度方向を定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {v}}=\mathbf {v} /{v}}$ ${\displaystyle v=\|\mathbf {v} \|}$

${\displaystyle {\dot {r}}=v\langle {\hat {r}},{\hat {v}}\rangle =v\langle {\hat {r}},{\hat {v}} \rangle }$

ここで、内積は、平行ベクトルの場合は +1、反平行ベクトルの場合は -1 になります。

一致する観測ターゲットに対して特異点が存在します。つまり、この場合、距離率は定義されません。 ${\displaystyle r=0}$

天文学では、視線速度はドップラー分光法によって一次近似で測定されることが多い。この方法で得られる量は、重心視線速度測度または分光視線速度と呼ばれることがある。^[2]しかし、光が天体から観測者に到達するまでに通常移動する長距離に対する相対論的および宇宙論的効果のため、この測度は、天体および天体と観測者との間の空間に関する追加の仮定なしには、幾何学的視線速度に正確に変換することはできない。 ^[3]対照的に、天体測定視線速度は、天体測定観測（例えば、年周視差の永年変化）によって決定される。 ^{[3] [4] [5]}

放出時にかなりの相対視線速度を持つ物体からの光はドップラー効果の影響を受けるため、遠ざかる物体では光の周波数が減少し（赤方偏移）、近づく物体では光の周波数が増加します（青方偏移）。

星やその他の遠くにある明るい物体の視線速度は、高解像度のスペクトルを取得し、既知のスペクトル線の測定波長を実験室測定の波長と比較することで正確に測定できます。視線速度が正の場合、物体間の距離が増加している、または増加していたことを示します。視線速度が負の場合、光源と観測者間の距離が減少している、または減少していたことを示します。

ウィリアム・ハギンズは1868年に、観測された星の光の赤方偏移に基づいて、太陽に対するシリウスの視線速度を推定することに挑戦した。 ^[6]

多くの連星では、軌道運動によって通常、視線速度が数キロメートル毎秒 (km/s) 変化する。これらの恒星のスペクトルはドップラー効果によって変化するため、分光連星と呼ばれる。視線速度は、恒星の質量比や、離心率や長半径などの軌道要素を推定するために使用できる。同じ方法は、恒星の周りの惑星の検出にも使用されており、運動の測定によって惑星の公転周期を決定し、結果として得られる視線速度振幅から連星質量関数を使用して惑星の質量の下限を計算できる。視線に対して非常に高い角度で公転する大きな惑星は、視線上に軌道面を持つはるかに小さな惑星と同じくらい、その恒星を半径方向に摂動させるため、視線速度法だけでは下限しか明らかにならない可能性がある。この方法で計算された高い離心率を持つ惑星は、実際には円形またはほぼ円形の共鳴軌道を持つ2惑星系である可能性があることが示唆されている。^{[7] [8]}

太陽系外惑星を検出する視線速度法は、中心星の速度の変化を検出することに基づいています。これは、（目に見えない）太陽系外惑星が恒星の周りを回るときに、その重力方向が変わることによるものです。恒星が私たちに向かって移動すると、スペクトルは青方偏移し、遠ざかると赤方偏移します。恒星のスペクトルを定期的に観察し、その速度を測定することで、恒星が太陽系外惑星の伴星の影響で周期的に動いているかどうかを判断できます。

機器の観点からは、速度は望遠鏡の動きに対して測定されます。したがって、データ削減の重要な最初のステップは、

• 地球は太陽の周りを約±30km/sの楕円運動をしており、
• 地球-月系の重心の周りを地球が毎月±13m/s回転すること、[ ^9]
• 望遠鏡が地殻とともに地軸の周りを毎日回転する速度。赤道では最大±460 m/sで、望遠鏡の地理的な緯度の余弦に比例する。
• 地球の極運動によるmm/sレベルの小さな寄与、
• 銀河中心の周りの運動とそれに伴う固有運動による230 km/sの寄与がある。^[10]
• 分光測定の場合、収差に対する補正は±20cm/s程度である。^[11]
• Sin i の退化は、運動の平面上にないことによって生じる影響です。

• 固有運動 – 星の見かけの位置の観測された変化の尺度
• 固有速度 – 静止フレームに対する物体の速度
• 相対速度 – 観測者を基準として測定された速度
• 宇宙速度（天文学）  – 星の動きの研究リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• バイスタティック距離率
• ドップラー効果
• 内積
• 軌道決定
• LPスペース

• ホフマン、ケネス M.; クンツェル、レイ (1971)、線形代数(第 2 版)、Prentice-Hall Inc.、ISBN 0135367972
• Renze, John、Stover, Christopher、Weisstein, Eric W. 「Inner Product」。MathWorld より - Wolfram Web リソース。http://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html

• 太陽系外惑星の探索における視線速度方程式（ドップラー分光法またはウォブル法）