不動産
独立増分 連続時間確率過程は、時間t ≥ 0の各点に確率変数 X t t の確率関数です。このような過程の増分 は、異なる時間t < sにおけるその値の差 X s X t 独立である ということは、2つの時間間隔が重ならない限り、増分X s X t X u X v が独立な 確率変数であり、より一般的には、ペアごとに重ならない時間間隔に割り当てられた任意の有限個の増分は、互いに（ペアごと だけでなく）独立であることを意味します。
定常増分 増分が定常であるということは、任意の増分X t X s の確率分布 が時間間隔の長さt − s のみに依存することを意味します。同じ長さの時間間隔における増分は、同一の分布に従います。
もしX {\displaystyle X} これはウィーナー過程 であり、 X t − X s 期待値 0、分散 t − sの 正規 分布です。
もしX {\displaystyle X} はポアソン過程 であり、 X t − X s t − s ) を持つ ポアソン分布 であり、λ > 0 は過程の「強度」または「率」です。
もしX {\displaystyle X} はコーシー過程 であり、 X t − X s コーシー分布 である。 f （ x ; t ） = 1 π [ γ x 2 + γ 2 ] {\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{\gamma \over x^{2}+\gamma ^{2}}\right]} γ = t − s {\displaystyle \gamma =t-s}
瞬間 有限モーメント を持つ任意のレヴィ過程において、n 番目のモーメントはμ n （ t ） = E （ X t n ） {\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})} はt の多項式関数 であり、これらの関数は二項恒等式を満たします 。
μ n （ t + s ） = ∑ k = 0 n （ n k ） μ k （ t ） μ n − k （ s ） 。 {\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}
レヴィ過程の分布は、その特性関数によって特徴付けられ、それは レヴィ・ヒンチン公式 （すべての無限分割可能な分布 に一般化）によって与えられます。 [ 2 ]
もしX = （ X t ） t ≥ 0 {\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}} φ X （ θ ） {\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}
φ X （ θ ） （ t ） := E [ e 私 θ X （ t ） ] = exp （ t （ 1 私 θ − 1 2 σ 2 θ 2 + ∫ R ∖ { 0 } （ e 私 θ x − 1 − 私 θ x 1 | x | < 1 ） Π （ d x ） ） ） {\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}} どこ1 ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } σ ≥ 0 {\displaystyle \sigma \geq 0} Π {\displaystyle \Pi } は、 σ- レヴィ測度 と呼ばれる。X {\displaystyle X}
∫ R ∖ { 0 } ミニ （ 1 、 x 2 ） Π （ d x ） < ∞ 。 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .} 上記において、1 {\displaystyle \mathbf {1} } は指示関数 です。特性関数は 基礎となる確率分布を一意に決定するため、各レヴィ過程は「レヴィ・ヒンチン三つ組」によって一意に決定されます。（ 1 、 σ 2 、 Π ） {\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )} ブラウン運動 、レヴィジャンプ過程という三つの独立した成分を持つと見なせることを示唆している。これにより、唯一の（非決定論的な）連続レヴィ過程はドリフトを伴うブラウン運動であることが直ちにわかる。同様に、すべてのレヴィ過程は半マルチンゲール である。[ 3 ]
独立な確率変数の特性関数は乗算されるため、レヴィ・ヒンチン定理によれば、すべてのレヴィ過程は、ドリフトを伴うブラウン運動と、別の独立な確率変数であるレヴィジャンプ過程の和で表される。レヴィ・伊藤分解は、後者を独立なポアソン確率変数の（確率的）和として記述する。
させてν = Π | R ∖ （ − 1 、 1 ） Π （ R ∖ （ − 1 、 1 ） ） {\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}} Π {\displaystyle \Pi } R ∖ （ − 1 、 1 ） {\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)} μ = Π | （ − 1 、 1 ） ∖ { 0 } {\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}
∫ R ∖ { 0 } （ e 私 θ x − 1 − 私 θ x 1 | x | < 1 ） Π （ d x ） = Π （ R ∖ （ − 1 、 1 ） ） ∫ R （ e 私 θ x − 1 ） ν （ d x ） + ∫ R （ e 私 θ x − 1 − 私 θ x ） μ （ d x ） 。 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.} 前者は強度を持つ複合ポアソン過程の特性関数である Π （ R ∖ （ − 1 、 1 ） ） {\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))} ν {\displaystyle \nu } 補償型一般化ポアソン過程 （CGPP）である。これは、各区間において可算個のジャンプ不連続点を持つが 、それらの不連続点の大きさはよりも小さい過程である。1 {\displaystyle 1} ∫ R | x | μ （ d x ） < ∞ {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty } 純粋なジャンプ過程 となる。[ 4 ] [ 5 ] X {\displaystyle X}
X t = σ B t + 1 t + Y t + Z t 、 t ≥ 0 、 {\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,} どこY {\displaystyle Y} 1 {\displaystyle 1} Z t {\displaystyle Z_{t}}
参考文献 ↑ 佐藤健一 (1999).レヴィ過程と無限分割分布 . ケンブリッジ大学出版局. pp. 31–68 . ISBN 9780521553025 。 ↑ ゾロタレフ、ウラジミール M. 一次元安定分布。第 65 巻。アメリカ数学会、1986 年。 ↑ Protter PE確率積分と微分方程式。Springer 、2005 年。 ↑ Kyprianou, Andreas E. (2014), "The Lévy–Itô Decomposition and Path Structure", Fluctuations of Lévy Processes with Applications , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, pp. 35–69 , doi : 10.1007/978-3-642-37632-0_2 , ISBN 9783642376313 ↑ Lawler, Gregory (2014). "確率微分積分：応用例を含む入門" (PDF) . シカゴ大学数学科 . 2018年3月29日に オリジナル (PDF) からアーカイブ済み. 2018年 10月3日 に取得 . ↑ Wolpert, Robert L.; Ickstadt, Katja (1998), "Simulation of Lévy Random Fields", Practical Nonparametric and Semiparametric Bayesian Statistics , Lecture Notes in Statistics, Springer, New York, doi : 10.1007/978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9 ↑ Wolpert, Robert L. (2016). "Lévy Random Fields" (PDF) . 統計科学科 (デューク大学) . ↑ フェルドマン、ジェイコブ (1971)。「確率空間の分解可能なプロセスと連続積」。 関数 解析 ジャーナル 。8 ( 1 ): 1– 51。doi : 10.1016/0022-1236(71)90017-6。ISSN 0022-1236 。 Applebaum, David (2004 年 12 月). 「レヴィ過程 ― 確率から金融、量子群まで」（PDF） .アメリカ数学会報 . 51 (11): 1336–1347 . ISSN 1088-9477 . Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Financial Modeling with Jump Processes . CRC Press. ISBN 978-1584884132 。 佐藤健一（2011）『レヴィ過程と無限分割分布 』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521553025 。 Kyprianou, Andreas E. (2014).レヴィ過程の ゆらぎとその応用。入門講義。第2版 。Springer。ISBN 978-3642376313 。
![{\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{\gamma \over x^{2}+\gamma ^{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7ffd4a76a21d23e80d817c1724dacc5a317fde)
![{\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5e8e9dc403aceba388c3b3e85be417c71e7100)
