非確率的定理の確率的証明一覧

確率論は、他の数学分野（主に解析学）の結果を日常的に利用している。以下に挙げる反対のケースは比較的まれであるが、確率論は確率的方法を通して組み合わせ論において体系的に用いられている。これらは特に非構成的な証明に用いられる。

• 正規数は存在する。さらに、計算可能な正規数も存在する。これらの非確率的な存在定理は、確率的な結果から導かれる。(a) ランダムに選択された数（(0,1) 上で一様に選択された数）はほぼ確実に正規数である（これは大数の強法則から容易に導かれる）。(b) 強法則の背後にあるいくつかの確率的不等式。正規数の存在は (a) から直ちに導かれる。(b) に基づく計算可能な正規数の存在の証明には、追加の議論が必要となる。既知の証明はすべて確率的な議論を用いている。
• 高次元凸体は球状の断面を持つというドヴォレツキーの定理は、確率論的に証明されている。しかし、多くの具体的な物体についても、決定論的な構成法は知られていない。
• バナッハ・マズールコンパクトムの直径は、確率論的構成法を用いて計算された。決定論的構成法は知られていない。
• ハウスドルフ・ヤングの不等式を拡張できないという元の証明は${\displaystyle p>2}$確率論的である。デ・レーウ・カハネ・カッツネルソン定理（より強い主張）の証明は部分的に確率論的である。^{[ 1 ]}
• セーラム集合の最初の構成は確率論的であった。^{[ 2 ]}カウフマンが決定論的構成を示したのは1981年になってからである。^{[ 3 ]}
• コンパクト区間上のすべての連続関数は、多項式によって一様に近似できる。これはワイエルシュトラスの近似定理である。確率論的な証明では、大数の弱法則が用いられる。非確率論的な証明は以前から存在していた。
• 至るところで微分不可能な連続関数の存在は、ウィーナー過程の性質から容易に導かれる。非確率的な証明は以前にも示されていた。
• スターリングの公式は、確率論で使用するために、アブラハム・ド・モアブルが著書『確率論』の中で最初に発見しました（定数は後にスターリングによって特定されました）。20世紀には、スターリングの公式（および関連する結果）のいくつかの確率論的証明が発見されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 平面全体で定義される唯一の有界調和関数は、リウヴィルの定理により定数関数である。n次元ブラウン運動による確率的証明はよく知られている。^{[ 6 ]}非確率的証明は以前から利用可能であった。
• 解析関数または調和関数の非接線境界値^{[ 7 ]}は、非接線有界性のほぼすべての境界点に存在する。この結果（プリバロフの定理）およびこの種のいくつかの結果は、マルチンゲール収束から導かれる。^{[ 8 ]}非確率的証明は以前から利用可能であった。
• 境界ハーナック原理はブラウン運動を用いて証明されている^{[ 9 ] （ [ 10 ]}も参照）。非確率的な証明は以前から存在していた。
• オイラーのバーゼル和、${\displaystyle \qquad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},}$無限帯からの平面ブラウン運動の予想脱出時間を考慮することで実証できる。他のあまり知られていない恒等式も同様の方法で導出できる。^{[ 11 ]}

• ピカール定理は、平面ブラウン運動の巻き込み特性を用いて証明することができる。^{[ 12 ] [ 13 ]}
• 実数直線上のすべてのリプシッツ関数がほとんど至るところで微分可能であるという事実は、マルチンゲール収束を用いて証明できる。
• 多次元フーリエ逆変換公式は、大数の弱法則と複素解析のいくつかの基本的な結果によって確立できる。^{[ 14 ]}
• アベールとワイスは、確率論的な構成によって、ベルヌーイシフトが、標準確率空間上の離散可算群の任意の自由測度保存作用に弱く包含される（ケクリスの意味で）ことを証明した。 ^{[ 15 ]}

• 望ましい性質を持つグラフ（およびその他の離散構造）の存在を示す定理の多くは、確率論的手法によって証明されている。そのうちのいくつかについては、非確率論的な証明も存在する。
• 最大値・最小値の関係式は確率論的な証明が可能である。
• 交差数不等式とは、グラフの頂点数、辺数の関数として、任意のグラフの描画における交差数の下限を示すものです。

• 代数学の基本定理は、 2次元ブラウン運動を用いて証明することができる。^{[ 6 ]}非確率的な証明は以前から存在していた。
• 楕円複体の指数定理は、確率的方法^{[ 16 ]} (熱方程式法ではなく) を使用して証明されています。非確率的な証明は以前に利用可能でした。

• 滑らかな境界は明らかに両側性を持つが、滑らかでない（特にフラクタルな）境界は非常に複雑になる可能性がある。マーティン境界^{[ 17 ]}の位相境界への自然な射影がほとんど至る所で最大2対1であるという意味で、両側性を持つと予想されていた。^{[ 18 ]}この予想は、ブラウン運動、局所時間、確率積分、結合、超収縮性などを用いて証明されている^{[ 19 ] （ [ 20 ]}も参照）。非確率的な証明は18年後に発見された。^{[ 21 ]}
• ローヴナーのトーラス不等式は、コンパクト曲面（位相的にはトーラス）の面積とそのシストールを関連付けます。これは、分散の確率的概念を用いることで最も簡単に証明できます。^{[ 22 ]}非確率的な証明は以前に利用可能でした。
• 極小曲面の弱半空間定理は、平面ではない有界曲率の完全極小曲面は、いかなる半空間にも含まれないことを述べている。この定理は、極小曲面上のブラウン運動間の結合を用いて証明されている。^{[ 23 ]}非確率的な証明は以前に利用可能であった。

• エミール・ボレルによる正規数定理（1909年）は、確率論的方法の最初の例の一つであり、大数の強法則の最初のバージョンを利用して正規数の存在を初めて証明した（解析のセクションの最初の項目も参照）。
• ロジャース・ラマヌジャン恒等式はマルコフ連鎖を用いて証明される。^{[ 24 ]}非確率的な証明は以前に利用可能であった。

• 非可換力学（量子力学とも呼ばれる）は、フォン・ノイマン代数とヒルベルト空間の連続テンソル積の観点から定式化される。^{[ 25 ]}いくつかの結果（例えば、互いに同型でないモデルの連続体）は、確率的手段（ランダムコンパクト集合とブラウン運動）によって得られる。^{[ 26 ] [ 27 ]}この理論の一部（いわゆるタイプIIIシステム）は解析言語に翻訳され^{[ 28 ]}、解析的に発展している。^{[ 29 ]}他の部分（いわゆるタイプIIシステム）は、依然として確率言語のみに存在する。
• 三体量子状態はベル不等式の任意の大きな違反を引き起こす可能性がある^{[ 30 ]}（二体の場合とは対照的）。証明にはランダムユニタリ行列を使用する。他の証明は存在しない。

• シャノンのチャネル符号化定理の証明では、ランダム符号化を用いて、チャネル容量を達成する符号の存在を示します。

• 確率的方法

• MathOverflowにおける解析的事実の確率的証明